Question

设an=

1•2

+

2•3

+…+

n(n+1)

(n=1，2…)，
（1）证明不等式

n(n+1)

2

＜an＜

(n+1)2

2

对所有的正整数n都成立；
（2）设bn=

an

n(n+1)

(n=1，2…)，用定义证明

lim

n→∞

bn=

1

2

.

Answer 1

分析：（1）考虑a_n和式的通项

k(k+1)

，先对其进行放缩k＜

k(k+1)

＜

k+(k+1)

2

=

2k+1

2

，结合数列的求和公式即可证得；
（2）欲用定义证明

lim

n→∞

bn=

1

2

.即证对任意指定的正数ε，要使|bn-

1

2

|＜ε．

解答：证：（1）由不等式k＜

k(k+1)

＜

k+(k+1)

2

=

2k+1

2

对所有正整数k成立，把它对k从1到n（n≥1）求和，
得到1+2+3+…+n＜a_n＜

3

2

+

5

2

+…+

2n+1

2

又因1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

，以及

3

2

+

5

2

+…+

2n+1

2

＜

1

2

[1+3+5+…+（2n+1）]=

(n+1)2

2

，
因此不等式

n(n+1)

2

＜an＜

(n+1)2

2

.
对所有的正整数n都成立．
（2）由（1）及b_n的定义知

1

2

＜bn＜

n+1

2n

=

1

2

+

1

2n

，于是|bn-

1

2

|=bn-

1

2

＜

1

2n

对任意指定的正数ε，要使|bn-

1

2

|＜ε，
只要使

1

2n

＜ε，即只要使n＞

1

2ε

.
取N是

1

2ε

的整数部分，则数列b_n的第N项以后所有的项都满足|bn-

1

2

|＜ε
根据极限的定义，证得

lim

n→∞

bn=

1

2

.

点评：本题主要考查不等式的证明，主要采用了放缩法．放缩是一种重要的变形手段，但是放缩的对象以及放缩的尺度不易掌握，技巧性较强．