Question

【题目】已知集合M是由满足下列性质的函数f（x）的全体所组成的集合：在定义域内存在x0 ， 使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立．
（1）指出函数f（x）= 是否属于M，并说明理由；
（2）设函数f（x）=lg 属于M，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：若f（x）= 属于M，则存在x0∈（∞，0）∪（0，+∞），使得 = +1，

则x02+x0+1=0，因为方程x02+x0+1=0无解，所以f（x）= 不属于M

（2）解：由f（x）=lg 属于M知，有lg =lg +lg 有解，

即（a2）x2+2ax+2（a1）=0有解；

当a=2时，x= ；

当a≠2时，由△≥0，得a26a+4≤0，得a∈[3 ，2]∪（2，3+ ]，

又因为对数的真数大于0，

所以a＞0

所以a∈[3 ，，3+ ]

【解析】（1）假设f（x）属于M，则f（x）具有M的性质，列出方程解方程无解，则得到f（x）不属于M．（2）f（x）属于M，则f（x）具有M的性质，列出方程有解则△≥0，求出a的范围．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用元素与集合关系的判断的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握对象与集合的关系是，或者，两者必居其一．