Question

9．如图，点C是以AB为直径的圆上一点，直角梯形BCDE所在平面与圆O所在平面垂直，且DE∥BC，DC⊥BC，DE=1，BC=2，AC=CD=3
（1）证明：EO∥平面ACD； 
（2）证明：平面ACD⊥平面BCDE；
（3）求三棱锥E-ABD的体积．

Answer 1

分析 （1）如图，取BC的中点M，连接OM、ME．在三角形ABC中，利用中位线定理得到OM∥AC，再证出四边形MCDE是平行四边形，结合面面平行的判定得到面EMO∥面ACD，最后利用面面平行的性质即可得出结论；
（2）根据AB是圆的直径，C点在圆上，得到直径所结的圆周角是直角，又平面BDCE⊥平面ABC，从而有AC⊥平面BDCE，最后利用面面垂直的判定即可得出平面ACD⊥平面BCDE；
（3）由（2）知AC⊥平面ABDE，可得AC是三棱锥A-BDE的高线，再将三棱锥E-ABD的体积转化为三棱锥A-BDE的体积求解即可．

解答 （1）证明：如图，取BC的中点M，连接OM、ME．
在三角形ABC中，O是AB的中点，M是BC的中点，
∴OM∥AC，
在直角梯形BCDE中，DE∥BC，且DE=CM，
∴四边形MCDE是平行四边形，∴EM∥CD，
∴面EMO∥面ACD，
又∵EO?面EMO，
∴EO∥面ACD；
（2）证明：∵AB是圆的直径，C点在圆上，
∴AC⊥BC，又∵平面BDCE⊥平面ABC，平面BDCE∩平面ABC=BC，
∴AC⊥平面BDCE，∵AC?平面ACD，
∴平面ACD⊥平面BCDE；
（3）解：由（2）知AC⊥平面ABDE，可得AC是三棱锥A-BDE的高线，
∵Rt△BDE中，S_△BDE=$\frac{1}{2}$DE×CD=$\frac{1}{2}$×1×3=$\frac{3}{2}$．
∴V_E-ABD=V_A-BDE=$\frac{1}{3}$×S_△BDE×AC=$\frac{1}{3}$×$\frac{3}{2}$×3=$\frac{3}{2}$．

点评 本题给出一个特殊的几何体，通过求证线面垂直和求体积，着重考查了空间直线与平面平行、平面与平面垂直的判定和性质，考查了锥体体积公式，属于中档题．