Question

14．平面α过正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的顶点A，α∥平面CB₁D₁，α∩平面ABCD=m，α∩平面AB B₁A₁=n，则m，n所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 如图：α∥平面CB₁D₁，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA₁B₁=n，可知：n∥CD₁，m∥B₁D₁，由△CB₁D₁是正三角形，即可得出m、n所成角．

解答 解：如图：α∥平面CB₁D₁，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA₁B₁=n，
可知：n∥CD₁，m∥B₁D₁，
∵△CB₁D₁是正三角形．m、n所成角就是∠CD₁B₁=60°．
则m、n所成角的正弦值为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了空间位置关系、异面直线所成的角、等边三角形的性质，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．