Question

（2009•虹口区一模）如图，正四棱锥V-ABCD的高和底面的边长均相等，E是棱VB的中点．
（1）求证：AC⊥VD；
（2）（文科）求：异面直线CE和VD的夹角大小；
     （理科）求：二面角E-AC-B的大小．

Answer 1

分析：（1）连接AB，CD交于O，通过证明AC⊥BD，AC⊥VO证得AC⊥面VDB，再证明AC⊥VD
（2）（文科）可知OE∥VD，所以∠CEO （或其补角）即为异面直线CE和VD的夹角．在△CEO 中求解即可．
（理科）由（1）得出AC⊥OE，AC⊥OB，所以∠EOB为二面角E-AC-B的平面角，在△EOH 求解即可

解答：解：（1）证明连接AB，CD交于O
则AC⊥BD，AC⊥VO，且BD∩VO=O，∴AC⊥面VDB，又VD?VDB∴AC⊥VD．
（2）（文科）
∵E是棱VB的中点，所以OE∥VD，∴∠CEO （或其补角）即为异面直线CE和VD的夹角．设高和底面的边长均为2，则在△VBC中，VC²=VO²+OC²=2²+

2

2=6，VC=

6

．
cos∠CVB=

VC2+VB2-CB2

2×VB×VC

=

6+6-4

2× 6 × 6

=

2

3

，CE²=VC²+VE²-2VC×VE×cos∠CVB=6+

6

4

 -2×

6

×

6

2

×

2

3

=

7

2

在△CEO 中，cos∠CEO=

EO2+ EC2-OC2

2×EO×EC

=

6 4 + 7 2 -2

2× 6 2 × 7 2

=

21

7

∴∠CEO=arccos

21

7

．即异面直线CE和VD的夹角大小为arccos

21

7

．
（理科）
由（1）AC⊥面VDB，，∴AC⊥OE，AC⊥OB，∴∠EOB为二面角E-AC-B的平面角，取BO中点 H，则EH∥VO，EH⊥面ABCD  且 EH=1，
在直角△EOH，tan∠EOB=

EH

OH

= 

1

2 2

=

2

，，∴∠EOB=arctan

2

，即二面角E-AC-B的大小为arctan

2

．

点评：本小题主要考查空间线面关系、异面直线的夹角、二面角的度量等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力