Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=qⁿ-1（q＞0，且q为常数），某同学得出如下三个结论：
①{a_n}的通项是a_n=（q-1）•q^n-1；
②{a_n}是等比数列；
③当q≠1时，S_nS_n+2＜S+1．
其中正确结论的个数为

1. A.
   0
2. B.
   1
3. C.
   2
4. D.
   3

Answer 1

C
分析：先根据a_n与S_n的关系式求出a_n，可判断①的正确性；举反例可判断②的正确性；作差可判断③的正确性；
解答：a_n=S_n-S_n-1=（qⁿ-1）-（q^n-1-1）（n≥2），即，
而a₁=S₁=q-1，得a_n=（q-1）q^n-1（n≥1），①正确；
当q=1时，{a_n}不是等比数列，②错误；
当q≠1时，令t=S_nS_n+2-=（qⁿ-1）（qⁿ⁺²-1）-（qⁿ⁺¹-1）²，则t=-qⁿ（q-1）²，显然，t＜0，即S_nS_n+2＜，③正确；
故选C．
点评：本题以命题为载体考查等差、等比数列的有关知识，考查学生综合运用知识解决问题的能力，属中档题．