【题目】已知椭圆的离心率为,焦点分别为,点是椭圆上的点,面积的最大值是.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆交于两点,点是椭圆上的点,是坐标原点,若判定四边形的面积是否为定值?若为定值,求出定值;如果不是,请说明理由.
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)见解析
【解析】
(Ⅰ)由题意得到的方程组,求出的值,即可得出椭圆方程;
(Ⅱ)当直线的斜率不存在时,易求出四边形的面积;当直线的斜率存在时,设直线方程是,联立直线与椭圆方程,结合判别式和韦达定理,可表示出弦长,再求出点到直线的距离,根据和点在曲线上,求出的关系式,
最后根据,即可得出结果.
解:(Ⅰ)由解得 得椭圆的方程为.
(Ⅱ)当直线的斜率不存在时,直线的方程为或,此时四边形的面积为.
当直线的斜率存在时,设直线方程是,联立椭圆方程
,
点到直线的距离是
由得
因为点在曲线上,所以有整理得
由题意四边形为平行四边形,所以四边形的面积为
由得, 故四边形的面积是定值,其定值为.
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【题目】祖暅是我国古代的伟大科学家,他在5世纪末提出祖暅:“幂势即同,则积不容异”,意思是:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意一个平面所截,若截面面积都相等,则这两个几何体的体积相等. 祖暅原理常用来由已知几何体的体积推导未知几何体的体积,例如由圆锥和圆柱的的体积推导半球体的体积,其示意图如图所示,其中图(1)是一个半径为R的半球体,图(2)是从圆柱中挖去一个圆锥所得到的几何体. (圆柱和圆锥的底面半径和高均为R)
利用类似的方法,可以计算抛物体的体积:在x-O-y坐标系中,设抛物线C的方程为y=1-x2 (-1x1),将曲线C围绕y轴旋转,得到的旋转体称为抛物体. 利用祖暅原理可计算得该抛物体的体积为_________.
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【题目】第35届牡丹花会期间,我班有5名学生参加志愿者服务,服务场所是王城公园和牡丹公园.
(1)若学生甲和乙必须在同一个公园,且甲和丙不能在同一个公园,则共有多少种不同的分配方案?
(2)每名学生都被随机分配到其中的一个公园,设分别表示5名学生分配到王城公园和牡丹公园的人数,记,求随机变量的分布列和数学期望.
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【题目】根据统计,某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量(百千克)与某种液体肥料每亩使用量(千克)之间的对应数据的散点图,如图所示.
(1)依据数据的散点图可以看出,可用线性回归模型拟合与的关系,请计算相关系数并加以说明(若,则线性相关程度很高,可用线性回归模型拟合);
(2)求关于的回归方程,并预测液体肥料每亩使用量为千克时,西红柿亩产量的增加量约为多少?
附:相关系数公式,回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:,.
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【题目】2018年1月31日晚上月全食的过程分为初亏、食既、食甚、生光、复圆五个阶段,月食的初亏发生在19时48分,20时51分食既,食甚时刻为21时31分,22时08分生光,直至23时12分复圆全食伴随有蓝月亮和红月亮,全食阶段的“红月亮”将在食甚时刻开始,生光时刻结束,一市民准备在19:55至21:56之间的某个时刻欣赏月全食,则他等待“红月亮”的时间不超过30分钟的概率是
A. B. C. D.
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为且椭圆上存在一点,满足.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知分别是椭圆的左、右顶点,过的直线交椭圆于两点,记直线的交点为,是否存在一条定直线,使点恒在直线上?
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