自然状态下的鱼类是一种可再生资源.为了持续利用这一资源.需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响．用xn表示某鱼群在第n年年初的总量且x1＞0．不考虑其他因素.设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比.死亡量与$x n^2$成正比.这些比例系数依次为正常数a.b.c(1)求xn+1与xn的关系式(2)若每年年初鱼群的总� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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20．自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为了持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响．用x_n表示某鱼群在第n年年初的总量且x₁＞0．不考虑其他因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与x_n成正比，死亡量与$x_n^2$成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c
（1）求x_n+1与x_n的关系式
（2）若每年年初鱼群的总量保持不变，求x₁，a，b，c所应满足的条件
（3）设a=2，c=1，为保证对任意x₁∈（0，2），都有x_n＞0，则捕捞强度b的最大允许值是多少？并说明理由．

分析（1）利用题中的关系求出鱼群的繁殖量，被捕捞量和死亡量就可得到x_n+1与x_n的关系式；
（2）每年年初鱼群的总量保持不变就是x_n恒等于x₁，转化为x_n+1-x_n=0恒成立，再利用（1）的结论，就可找到x₁，a，b，c所满足的条件；
（3）先利用（1）的结论找到关于x_n和b的不等式，再利用x₁∈（0，2），求出b的取值范围以及b的最大允许值，最后在用数学归纳法进行证明即可

解答解：（1）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为ax_n，被捕捞量为bx_n，死亡量为cx_n²，
因此x_n+1-x_n=ax_n-bx_n-cx_n²，n∈N^*．（*）
即x_n+1=x_n（a-b+1-cx_n），n∈N^*．（**）
（2）若每年年初鱼群总量保持不变，则x_n恒等于x₁，n∈N^*，
从而由（*）式得x_n（a-b-cx_n）恒等于0，n∈N^*，
所以a-b-x₁=0．即x₁=$\frac{a-b}{c}$．
因为x₁＞0，所以a＞b．
猜测：当且仅当a＞b，且x₁=$\frac{a-b}{c}$．每年年初鱼群的总量保持不变．
（3）若b的值使得x_n＞0，n∈N*
由x_n+1=x_n（3-b-x_n），n∈N*，知
0＜x_n＜3-b，n∈N*，特别地，有0＜x₁＜3-b．即0＜b＜3-x₁．
而x₁∈（0，2），所以b∈（0，1]．
由此猜测b的最大允许值是1．
下证当x₁∈（0，2），b=1时，都有x_n∈（0，2），n∈N^*，
①当n=1时，结论显然成立．
②假设当n=k时结论成立，即x_k∈（0，2），
则当n=k+1时，x_k+1=x_k（2-x_k）＞0．
又因为x_k+1=x_k（2-x_k）=-（x_k-1）²+1≤1＜2，
所以x_k+1∈（0，2），故当n=k+1时结论也成立．
由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有x_n∈（0，2）．
综上所述，为保证对任意x₁∈（0，2），都有x_n＞0，n∈N^*，
则捕捞强度b的最大允许值是1．

点评本题是对数列、函数、数学归纳法等知识的综合考查，在作数列方面的应用题时，一定要认真真审题，仔细解答，避免错误．

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