已知一元二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象与x轴有两个不同的公共点.其中一个公共点的坐标为(c.0).且当0＜x＜c时.恒有f(x)＞0．(1)当a=1.c=12时.求出不等式f(x)＜0的解,＜0的解,(3)若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8.求a的取值范围,(4)若不等式m2-2km+1+b+ac≥0� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

已知一元二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0，c＞0）的图象与x轴有两个不同的公共点，其中一个公共点的坐标为（c，0），且当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0．
（1）当a=1，c=

时，求出不等式f（x）＜0的解；
（2）求出不等式f（x）＜0的解（用a，c表示）；
（3）若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8，求a的取值范围；
（4）若不等式m²-2km+1+b+ac≥0对所有k∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

分析：（1）当a=1，c=

时，f(x)=x2+bx+

，f（x）的图象与x轴有两个不同交点，由此能求出 f（x）＜0的解集．
（2）f（x）的图象与x轴有两个交点，由f（c）=0，设另一个根为x₂，由此能求出f（x）＜0的解集．
（3）由（2）的f（x）的图象与坐标轴的交点分别为(c，0)，(

，0)，(0，c)，这三交点为顶点的三角形的面积为S=

(

-c)c=8，由此能求出a的取值范围．
（4）由f（c）=0，知ac²+bc+c=0，由c＞0，知ac+b+1=0，由此能求出实数m的取值范围．

解答：（本小题满分（14分），（1）（2）小题每题（3分），（3）（4）小题每题4分）
解：（1）当a=1，c=

时，f(x)=x2+bx+

，
f（x）的图象与x轴有两个不同交点，
∵f(

)=0，设另一个根为x₂，则

x2=

，∴x₂=1，
则 f（x）＜0的解集为 (

，1)．…（3分）
（2）f（x）的图象与x轴有两个交点，
∵f（c）=0，设另一个根为x₂，则cx2=

∴x2=

，
又当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0，则

＞c，
∴f（x）＜0的解集为(c，

)…（6分）
（3）由（2）的f（x）的图象与坐标轴的交点分别为(c，0)，(

，0)，(0，c)
这三交点为顶点的三角形的面积为S=

(

-c)c=8，…（8分）
∴a=

16+c2

≤

故a∈(0，

]．…（10分）
（4）∵f（c）=0，∴ac²+bc+c=0，
又∵c＞0，∴ac+b+1=0，…（11分）
要使m²-2km≥0，对所有k∈[-1，1]恒成立，则
当m＞0时，m≥（2k）_max=2
当m＜0时，m≤（2k）_min=-2
当m=0时，0²≥2k•0，对所有k∈[-1，1]恒成立
从而实数m的取值范围为 m≤-2或m=0或m≥2．…（14分）

点评：本题考查二次函数的性质和应用，综合性强，难度大．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．

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