Question

为研究“原函数与其反函数的图象的交点是否在直线y=x上”这个课题，我们分三步研究：
（1）首先选取如下函数：y=2x+1，，，分别求出以上函数与其反函数图象的交点坐标；
（2）观察分析上述结果得到研究结论；（3）对得到的结论进行证明．

Answer 1

解：（1）y=2x+1与其反函数的交点坐标为（-1，-1）；…（1分）与其反函数的交点坐标为（0，0），（1，1）；…（3分）与其反函数y=x²-1（x≤0）的交点坐标为．…（6分）
（2）原函数图象与其反函数图象的交点关于直线y=x对称，但不一定在直线y=x上． …（10分）
（3）设点（a，b）是f（x）的图象与其反函数图象的任一交点，由于原函数与反函数图象关于直线y=x对称，
则点（b，a）也是f（x）的图象与其反函数图象的交点，且有b=f（a），a=f（b）．…（12分）
①若a=b，交点显然在直线y=x上．…（13分）
②若a＜b且f（x）是增函数时，有f（b）＜f（a），从而有b＜a，与a＜b矛盾；若b＜a且f（x）是增函数
时，有f（a）＜f（b），从而有a＜b，与b＜a矛盾．…（15分）
③若a＜b且f（x）是减函数时，有f（b）＜f（a），从而有a＜b成立，此时交点不在直线y=x上；
同理，若b＜a且f（x）是减函数时，交点也不在直线y=x上．…（17分）
综上，若函数f（x）是增函数，且f（x）的图象与其反函数的图象有交点，则交点一定在直线y=x上；若
函数f（x）是减函数，且f（x）的图象与其反函数的图象有交点，则交点不一定在直线y=x上． （18分）
分析：（1）分别求出函数y=2x+1，，的反函数，然后求出与对应函数的交点坐标即可；
（2）根据交点坐标观察发现原函数图象与其反函数图象的交点关于直线y=x对称，但不一定在直线y=x上；
（3）设点（a，b）是f（x）的图象与其反函数图象的任一交点，由于原函数与反函数图象关于直线y=x对称，则点（b，a）也是f（x）的图象与其反函数图象的交点，讨论a、b的大小和函数的单调性可得结论．
点评：本小题主要考查反函数，互为反函数图象的交点等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题．