Question

已知椭圆的两焦点为F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，离心率e=

3

2

．
（1）求此椭圆的方程；
（2）设直线l：y=x+m，若l与此椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m的值；
（3）以此椭圆的上顶点B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）求椭圆的方程即是求a，b两参数的值，由题设条件椭圆的两焦点为F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，离心率e=

3

2

求出a，b即可得到椭圆的方程．
（2）本题中知道了直线l：y=x+m，若l与此椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，故可由弦长公式建立方程求出参数m的值．首先要将直线方程与椭圆方程联立，再利用弦长公式建立方程；
（3）设能构成等腰直角三角形ABC，其中B（0，1），由题意可知，直角边BA，BC不可能垂直或平行于x轴，故可设BA边所在直线的方程为y=kx+1（不妨设k＜0），则BC边所在直线的方程为y=-

1

k

x+1，将此两直线方程与椭圆的方程联立，分别解出A，C两点的坐标，用坐标表示出两线段AB，BC的长度，由两者相等建立方程求参数k，由解的个数判断三角形的个数即可．

解答：解：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），…（1分）
则c=

3

，

c

a

=

3

2

，…（2分）∴a=2，b²=a²-c²=1…（3分）
∴所求椭圆方程为

x2

4

+y2=1．…（4分）
（2）由

y=x+m x2+4y2=4

，消去y，得5x²+8mx+4（m²-1）=0，…（6分）
则△=64m²-80（m²-1）＞0得m²＜5（*）
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x1+x2=-

8m

5

，x1x2=

4(m2-1)

5

，y₁-y₂=x₁-x₂，…（7分）
|PQ|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

2[(- 8m 5 )2- 16(m2-1) 5 ]

=2…（9分）
解得.m2=

15

8

，满足（*）
∴m=±

30

4

．…（10分）
（3）设能构成等腰直角三角形ABC，其中B（0，1），由题意可知，直角边BA，BC不可能垂直
或平行于x轴，故可设BA边所在直线的方程为y=kx+1（不妨设k＜0），则BC边所在直线的方
程为y=-

1

k

x+1，由

y=kx+1 x2+4y2=4

，得A(-

8k

1+4k2

，-

8k2

1+4k2

+1)，…（11分）
∴|AB|=

(- 8k 1+4k2 )2+(- 8k2 1+4k2 )2

=

8|k| 1+k2

1+4k2

，…（12分）
用-

1

k

代替上式中的k，得|BC|=

8 1+k2

4+k 2

，
由|AB|=|BC|，得|k|（4+k²）=1+4k²，…（13分）
∵k＜0，
∴解得：k=-1或k=

-3± 5

2

，
故存在三个内接等腰直角三角形．…（14分）

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，解题的关键是掌握直线与圆锥曲线位置关系中的相关的知识，如本题中求解的重点是弦长公式的熟练掌握运用，依据条件进行正确转化，分析出建立方程的依据很关键，如本题第二小题利用弦长公式建立方程求参数，第三小题中利用等腰三角形的性质转化为两弦长AB与BC相等，由此关系得到斜率k所满足的方程，将求解有几个三角形的问题转化为关于k的方程有几个根的问题，此类问题中正确转化，充分利用等量关系是解题的重中之重．本题中转化灵活，运算量大，且比较抽象，易出错，做题时要严谨认真．