Question

已知中心在原点O，左焦点为F₁（-1，0）的椭圆C的左顶点为A，上顶点为B，F₁到直线AB的距离为

7

7

|OB|．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C₁方程为：

x2

m2

+

y2

n2

=1（m＞n＞0），椭圆C₂方程为：

x2

m2

+

y2

n2

=λ（λ＞0，且λ≠1），则称椭圆C₂是椭圆C₁的λ倍相似椭圆．已知C₂是椭圆C的3倍相似椭圆，若椭圆C的任意一条切线l交椭圆C₂于两点M、N，试求弦长|MN|的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设椭圆C₁方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），直线AB方程为：

x

-a

+

y

b

=1，F₁（-1，0）到直线AB距离为d=

|b-ab|

a2+b2

=

7

7

b，b²=a²-1，联立解得即可．
（2）椭圆C₁的3倍相似椭圆C₂的方程为：

x2

12

+

y2

9

=1．对切线的斜率分类讨论：若切线m垂直于x轴，求得|MN|=2

6

．若切线m不垂直于x轴，可设其方程为：y=kx+m．将y=kx+m代人椭圆C₁方程，利用△=0，可得m²=4k²+3，记M、N两点的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂）．将y=kx+m代人椭圆C₂方程，利用根与系数的关系、弦长公式、函数的单调性即可得出．

解答： 解：（1）设椭圆C₁方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∴直线AB方程为：

x

-a

+

y

b

=1，
∴F₁（-1，0）到直线AB距离为d=

|b-ab|

a2+b2

=

7

7

b，化为a²+b²=7（a-1）²，
又b²=a²-1，
解得：a=2，b=

3

．
∴椭圆C₁方程为：

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）椭圆C₁的3倍相似椭圆C₂的方程为：

x2

12

+

y2

9

=1．
①若切线m垂直于x轴，则其方程为：x=±2，易求得|MN|=2

6

．
②若切线m不垂直于x轴，可设其方程为：y=kx+m．
将y=kx+m代人椭圆C₁方程，得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
∴△=48（4k²+3-m²）=0，即m²=4k²+3，（*）
记M、N两点的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂）．
将y=kx+m代人椭圆C₂方程，得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-36=0，
∴x₁+x₂=-

8km

3+4k2

，x₁x₂=

4m2-36

3+4k2

，
∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 3(12k2+9-m2)

3+4k2

=

4 6

3+4k2

，
∴|MN|=

(1+k2)

|x1-x2|=

4 6 1+k2

3+4k2

=2

6

1+ 1 3+4k2

∵3+4k²≥3，∴1＜1+

1

3+4k2

≤

4

3

，即2

6

＜2

6

1+ 1 3+4k2

≤4

2

，
综合①②，得：弦长|MN|的取值范围为[2

6

，4

2

]．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相切相交问题转化为方程联立可得△及根与系数的关系、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．