Question

5．已知cosθ=$\frac{4}{5}，\;θ∈（{0，\;\frac{π}{2}}）$，
（Ⅰ）求sin2θ的值；
（Ⅱ）求$cos（θ+\frac{π}{4}）$的值；
（Ⅲ）求 $tan（θ+\frac{π}{4}）$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用同角三角函数关系式可求sinθ的值，根据二倍角的正弦函数公式即可求值．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论及两角和的余弦函数公式即可求值得解．
（Ⅲ）利用同角三角函数关系式可求tanθ的值，根据两角和的正切函数公式即可求值．

解答 （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）∵$cosθ=\frac{4}{5}，\;θ∈（{0，\frac{π}{2}}）$，
∴$sinθ=\sqrt{1-{{cos}^2}θ}=\sqrt{1-{{（{\frac{4}{5}}）}^2}}=\frac{3}{5}$．------（公式（1分），结论1分）----（2分）
∴$sin2θ=2sinθcosθ=\frac{24}{25}$．-----------------------（公式（2分），结论1分）-----------（5分）
（Ⅱ）∴$cos（θ+\frac{π}{4}）$=cosθcos$\frac{π}{4}$-sin$θsin\frac{π}{4}$=$\frac{4}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}-$$\frac{3}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{10}$．----（公式（2分），函数值（1分），结论1分）--（9分）
（Ⅲ）∵$tanθ=\frac{sinθ}{cosθ}=\frac{3}{4}$，-------（公式1分）
∴$tan（θ+\frac{π}{4}）=\frac{tanθ+1}{1-tanθ}=\frac{{\frac{7}{4}}}{{\frac{1}{4}}}=7$．-------------（公式（2分），结论1分）------------（13分）

点评 本题主要考查了同角三角函数关系式，二倍角的正弦函数公式、余弦函数公式、正切函数公式的应用，考查了计算能力，属于基础题．