Question

17．已知圆C₁：x²+y²-3x-3y+3=0，圆C₂：x²+y²-2x-2y=0．
（1）求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．
（2）求过两圆交点且面积最小的圆的方程．

Answer 1

分析 （1）两方程相减求两圆的公共弦所在的直线方程，利用勾股定理公共弦长．
（2）直线C₁C₂方程：x-y=0.$\left\{\begin{array}{l}x-y=0\\ x+y-3=0\end{array}\right.$，交点为$（{\frac{3}{2}，\frac{3}{2}}）$，即为圆的圆心，半径r=$\sqrt{\frac{3}{2}}$，即可求过两圆交点且面积最小的圆的方程．

解答 解：（1）设两圆的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则A、B两点的坐标是圆C₁：x²+y²-3x-3y+3=0，圆C₂：x²+y²-2x-2y=0，联立方程组的解，
两方程相减得：x+y-3=0，
∵A、B两点的坐标都满足该方程，∴x+y-3=0为所求．
将圆C₂的方程化为标准形式，（x-1）²+（y-1）²=2，∴圆心C₂（1，1），半径r=$\sqrt{2}$．
圆心C₂到直线AB的距离d=$\frac{|1+1-3|}{\sqrt{2}}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，|AB|=$\sqrt{6}$．
即两圆的公共弦长为$\sqrt{6}$．
（2）C₁（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），C₂（1，1），直线C₁C₂方程：x-y=0．
$\left\{\begin{array}{l}x-y=0\\ x+y-3=0\end{array}\right.$，交点为$（{\frac{3}{2}，\frac{3}{2}}）$，
即为圆的圆心，半径r=$\sqrt{\frac{3}{2}}$，
所以圆的方程是：${（x-\frac{3}{2}）^2}+{（y-\frac{3}{2}）^2}=\frac{3}{2}$．

点评 本题考查圆与圆的位置关系，考查圆的方程，考查学生的计算能力，属于中档题．