Question

【题目】已知函数f（x）=x2﹣2ax+1．
（1）若对任意的实数x都有f（1+x）=f（1﹣x）成立，求实数 a的值；
（2）若f（x）在区间[1，+∞）上为单调递增函数，求实数a的取值范围；
（3）当x∈[﹣1，1]时，求函数f（x）的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由对任意的实数x都有f（1+x）=f（1﹣x）成立，

知函数f（x）=x2﹣2ax+1的对称轴为x=a，即a=1；

（2）解：函数f（x）=x2﹣2ax+1的图象的对称轴为直线x=a，

由f（x）在[a，+∞）上为单调递增函数，

y=f（x）在区间[1，+∞）上为单调递增函数，得，a≤1；

（3）解：函数图象开口向上，对称轴x=a，可得最大值只能在端点处取得．

当a＜0时，x=1时，函数取得最大值为：2﹣2a；

当a＞0时，x=﹣1时，函数取得最大值为：2+2a；

当a=0时，x=1或﹣1时，函数取得最大值为：2．

【解析】（1）由题意可得x=1为对称轴，求得f（x）的对称轴方程，即可得到a；（2）求得f（x）的递增区间，[1，+∞）为它的子区间，可得a的范围；（3）由函数图象开口向上，对称轴x=a，可得最大值只能在端点处取得，讨论a=0，a＞0，a＜0，即可得到所求最大值．
【考点精析】关于本题考查的函数的最值及其几何意义和二次函数的性质，需要了解利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能得出正确答案．