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已知圆C的圆心在直线y=x+1上,且过点A(1,3),与直线x+2y-7=0相切.
(1)求圆C的方程;
(2)设直线l:ax-y-2=0(a>0)与圆C相交于A、B两点,求实数a的取值范围.
分析:(1)设圆心C(a,b),由圆C的圆心在直线y=x+1上,且过点A(1,3),与直线x+2y-7=0相切,建立方程组求出圆心和半径,由此能求出圆C的方程.
(2)把直线y=ax-2代入圆的方程,得(a2+1)x2-6ax+4=0,由直线ax-y+5=0交圆于A,B两点,知5a2-4>0,由此能求出实数a的取值范围.
解答:解:(1)设圆心C(a,b),
∵圆C的圆心在直线y=x+1上,且过点A(1,3),与直线x+2y-7=0相切,
a+1=b
(a-1)2+(b-3)2
=
|a+2b-7|
5

解得a=0,b=1,
∴圆心C(0,1),圆半径r=|AC|=
(0-1)2+(1-3)2
=
5

∴圆C的方程为x2+(y-1)2=5.(8分)
(2)把直线ax-y-2=0,即y=ax-2代入圆的方程x2+(y-1)2=5,
消去y整理,得(a2+1)x2-6ax+4=0,
∵直线ax-y+5=0交圆于A,B两点,
∴△=36a2-16(a2+1)>0.即5a2-4>0,
由于a>0,解得a>
2
5
5

所以实数a的取值范围是(
2
5
5
,+∞). (15分)
点评:本题考查圆的方程的求法,考查满足条件的实数的取值范围的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意等价转化思想的合理运用.
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7
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