Question

9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin$\frac{B}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，bsinA=$\sqrt{6}$asinC，c=1．
（Ⅰ）求a的值和△ABC的面积；
（Ⅱ）求sin（2A+$\frac{π}{3}$）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）△ABC中，由条件利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式求得sinB、cosB的值，再利用正弦定理求得sinC的值，可得cosC的值，可得sinA=sin（B+C）的值，再利用正弦定理求得a的值．
（Ⅱ）求得cosA=-cos（B+C）的值，可得sinA的值，求得sin2A、cos2A的值，再利用两角和的正弦公式求得sin（2A+$\frac{π}{3}$）的值．

解答 解：（Ⅰ）△ABC中，sin$\frac{B}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，∴cos$\frac{B}{2}$=$\sqrt{{1-sin}^{2}\frac{B}{2}}$=$\frac{\sqrt{30}}{6}$，
∴sinB=2sin$\frac{B}{2}$cos$\frac{B}{2}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，cosB=1-2${sin}^{2}\frac{B}{2}$=$\frac{2}{3}$，∴B为锐角．
∵bsinA=$\sqrt{6}$asinC，利用正弦定理可得sinBsinA=$\sqrt{6}$sinAsinC，
∴sinC=$\frac{sinB}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{30}}{18}$＜sinB，故C为锐角，cosC=$\sqrt{{1-sin}^{2}C}$=$\frac{7\sqrt{6}}{18}$，
∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=$\frac{\sqrt{5}}{3}×\frac{7\sqrt{6}}{18}$+$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{30}}{18}$=$\frac{\sqrt{30}}{6}$．
再根据 c=1，利用正弦定理$\frac{a}{sinA}$=$\frac{c}{sinC}$，可得 $\frac{a}{\frac{\sqrt{30}}{6}}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{30}}{18}}$，求得 a=3，
故△ABC的面积为S=$\frac{1}{2}$ac•sinB=$\frac{1}{2}$×3×1×$\frac{\sqrt{5}}{3}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
（Ⅱ）∵cosA=-cos（B+C）=sinBsinC-cosBcosC=$\frac{\sqrt{5}}{3}×\frac{\sqrt{30}}{18}$-$\frac{2}{3}×\frac{7\sqrt{6}}{18}$=-$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴sinA=$\sqrt{{1-cos}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{30}}{6}$，cos2A=1-2sin²A=1-2×$\frac{30}{36}$=-$\frac{2}{3}$，
∴sin（2A+$\frac{π}{3}$）=sin2Acos$\frac{π}{3}$+cos2Asin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{30}}{6}$×$\frac{1}{2}$-$\frac{2}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{30}-4\sqrt{3}}{12}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，正弦定理，两角和的正弦公式，以及三角函数在各个象限中的符号，属于中档题．