Question

已知向量

m

=(x2，y-cx)，

n

=(1，x+b)，

m

∥

n

，（x，y，b，c∈R），且把其中x，y所满足的关系式记为y=f（x），若f′（x）为f（x）的导函数，F（x）=f（x）+af′（x）（a＞0），且F（x）是R上的奇函数．
（Ⅰ）求

b

a

和c的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在[

a

2

，a2]上单调递减，求b的取值范围；
（Ⅲ）当a=2时，设0＜t＜4且t≠2，曲线y=f（x）在点A（t，f（t））处的切线与曲线y=f（x）相交于点B（m，f（m））（A，B不重合），直线x=t与y=f（m）相交于点C，△ABC的面积为S，试用t表示△ABC的面积S（t），若P为S（t）上一动点，D（4，0），求直线PD的斜率的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵

m

=（x²，y-cx），

n

=（1，x+b），

m

∥

n

∴x²（x+b）=y-cx，
∴f（x）=x³+bx²+cx，f′（x）=3x²+2bx+c，
∴F（x）=f（x）+af′（x）=x³+（3a+b）x²+（2b+c）x+ac 为奇函数
∴F（-x）=-F（x），∴3a+b=0，ac=0，而a＞0，
∴

b

a

=-3，c=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）=x³-3ax²，f′（x）=3x²-6ax=3x（x-2a），
由f′（x）＜0，得0＜x＜2a，故f（x）的单调递减区间为[0，2a]，
若函数f（x）在[

a

2

，a²]上单调递减，则[

a

2

，a²]⊆[0，2a]，?

a＞0 a 2 ＜a2 a2＜2a

?

1

2

＜a＜2，
而由（Ⅰ）知b=-3a，故-6＜b＜-

3

2

．
（Ⅲ）当a=2时，由（Ⅰ）知b=-6，∴f（x）=x³-6x²，f′（x）=3x²-12x．
曲线y=f（x）在点A（t，f（t））处的切线方程为y-f（t）=f′（x）（x-t），其中f′（x）=3t²-12t．
联立y=f（x）与y-f（t）=f′（x）（x-t），得 f（x）-f（t）=f′（x）（x-t），
∴x³-6x²-t³+6t² =（3t²-12t）（x-t），∴（x³-t³）-6（x²-t²）-（3t²-12t）（x-t）=0，
∴（x-t）（x²+tx+t²-6x-6t-3t²+12t）=0，∴（x-t）[x²+（t-6）x-t（2t-6）]=0，
∴（x-t）²（x+2t-6）=0
则x=t或x=-2t+6，而A，B不重合，则m=-2t+6，
S（t）=

1

2

|m-t|•|f（m）-f（t）|=

1

2

|6-3t|•|（6-2t）³-6（6-2t）²-t³+6t²|
=

1

2

|6-3t|•|-9t³+54t²-72t|=

27

2

|t-2|•|t（t-2）（t-4）|=

27

2

t（t-2）²（4-t），
其中t∈（0，2）∪（2，4）．
记k_PD =g（t）=

S(t)

t-4

=-

27

2

t（t-2）² =-

27

2

（t³-4t²+4t），
∴g′（t）=-

27

2

（3t²-8t+4）=-

27

2

（3t-2）（t-2），t∈（0，2）∪（2，4）．
列表如下：

t	（0， 2 3 ）	2 3	（ 2 3 ，2）	2	（2，4）
g′（t）	-	0	+	0	-
g（t）	↘	极小值	↗	极大值	↘

又g（0）=0，g（

2

3

）=-16，g（2）=0，g（4）=-216，
由表可知：-216＜g（t）≤0，即-216＜k_PD≤0．