精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知a是不为零的常数,二次函数g(x)=ax2-x的定义域为R,函数y=g(x-4)为偶函数.函数f(x)=ax2+x的定义域为[m,n](m<n).
(1)求a的值;
(2)当m=0、n=12时,求函数f(x)的值域;
(3)是否存在实数m、n,使函数f(x)的值域为[3m,3n]?如果存在,求出m、n的值;如果不存在,请说明理由.
分析:(1)由于函数y=g(x-4)为偶函数,其对称轴是y轴,则二次函数的一次项系数为0,得从而求得a;
(2)由(1)知,函数f(x)的解析式,问题即转化为二次函数在闭区间上的最值问题;
(3)由(1)中函数的解析式,我们根据f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[3m,3n],对参数m,n分类讨论,判断出函数在[m,n]的单调性,进而构造出满足条件的方程,解方程即可得到答案.
解答:解:(1)由于g(x-4)=a(x-4)2-(x-4)=ax2-(8a+1)x+16a+4,
由y=g(x-4)为偶函数,
则二次函数的一次项系数为0,知-(8a+1)=0,
∴a=-
1
8
.                                              
(2)f(x)=-
1
8
x2+x=-
1
8
(x-4)2+2
,对称轴为直线x=4.   
当m=0、n=12时,定义域为[0,12].
在[0,4]上f(x)递增,此时函数值的集合为[f(0),f(4)],即[0,2];
在[4,12]上f(x)递减,此时函数值的集合为[f(12),f(4)],即[-6,2];
所以,当m=0、n=12时,函数f(x)的值域为[-6,2].                  
(3)存在实数m、n,使函数f(x)的值域为[3m,3n].讨论如下:
①当n≤4时,函数f(x)在[m,n]递增,则函数值域为[f(m),f(n)],
f(m)=-
1
8
m2+m=3m
f(n)=-
1
8
n2+n=3n

即m、n是方程-
1
8
x2+x=3x
的两根,而方程-
1
8
x2+x=3x
的两根是0、-16,
所以由m<n,得,m=-16、n=0.       
②当n>4时,
若m≤4,函数的最大值为f(4)=2=3n,则n=
2
3
,相互矛盾.     
若m>4,函数f(x)在[m,n]递减,则函数值域为[f(n),f(m)],
f(m)=-
1
8
n2+n=3m
f(n)=-
1
8
m2+m=3n

两式相减后,变形得(m-n)(m+n-32)=0,而m-n<0,
所以,m+n-32=0,即n=32-m,
代入-
1
8
m2+m=3n
得m2-32m+768=0,此方程无实解,此时不存在m、n. 
综上所述,存在实数m=-16、n=0,使函数f(x)的值域为[3m,3n].
点评:本题考查的知识点是二次函数的性质,其中(1)的关键是由已知条件构造关于a,b的方程组,(2)与(3)的关键是根据函数的值域判断出函数在[m,n]的单调性,进而构造出满足条件的方程.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=ex,g(x)=ax+1(a是不为零的常数,且a∈R).
(1)讨论函数F(x)=f(x)•g(x)的单调性;
(2)当a=-1时,方程f(x)•g(x)=t在区间[-1,1]上有两个解,求实数t的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知函数f(x)=ex,g(x)=ax+1(a是不为零的常数,且a∈R).
(1)讨论函数F(x)=f(x)•g(x)的单调性;
(2)当a=-1时,方程f(x)•g(x)=t在区间[-1,1]上有两个解,求实数t的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:吉安二模 题型:解答题

已知函数f(x)=ex,g(x)=ax+1(a是不为零的常数,且a∈R).
(1)讨论函数F(x)=f(x)•g(x)的单调性;
(2)当a=-1时,方程f(x)•g(x)=t在区间[-1,1]上有两个解,求实数t的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2011年江西省吉安市高考数学二模试卷(理科)(解析版) 题型:解答题

已知函数f(x)=ex,g(x)=ax+1(a是不为零的常数,且a∈R).
(1)讨论函数F(x)=f(x)•g(x)的单调性;
(2)当a=-1时,方程f(x)•g(x)=t在区间[-1,1]上有两个解,求实数t的取值范围.

查看答案和解析>>

同步练习册答案