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已知:如图,圆O:x2+y2=2交x轴于A,B两点,曲线C是以AB为长轴,离心率为数学公式的椭圆,其左焦点为F,若P是圆O上一点,连接PF,过原点O作直线PF的垂线交椭圆的左准线l于点Q.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若点P的坐标为(1,1),
①求线段PQ的长;
②求证:直线PQ与圆O相切.

(1)解:设椭圆C的标准方程为
因为圆O:x2+y2=2交x轴于A,B两点,所以|AB|=2
∵曲线C是以AB为长轴,∴,∴
∵椭圆的离心率为
∴c=1,

∴此椭圆的标准方程为
(2)①解:由(1)知椭圆的左焦点F(-1,0),而点P(1,1)
所以直线PF的方程为,即
直线QO的方程为y=-2x,而椭圆的左准线方程为x=-2,所以点Q的坐标为(-2,4)
因此|PQ|=3
②证明:直线PQ的方程为:y=-(x-1)+1,即x+y-2=0
而点O到直线PQ的距离为d=
所以直线PQ与圆O相切
分析:(1)因为,所以c=1,由此能得到椭圆C的标准方程;
(2)①根据过原点O作直线PF的垂线交椭圆的左准线l于点Q,可求Q的坐标,从而可求线段PQ的长;
②直线PQ的方程为:y=-(x-1)+1,即x+y-2=0,利用点O到直线PQ的距离,可证直线PQ与圆O相切.
点评:本题重点考查椭圆的标准方程,考查直线与圆的位置关系,解题时要认真审题,合理运用椭圆的几何性质.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,已知△ABC内接于圆O,AB是圆O的直径,四边形DCBE为平行四边形,DC⊥平面ABC,AB=2,tan∠EAB=
3
2

(1)证明:平面ACD⊥平面ADE;
(2)记AC=x,V(x)表示三棱锥A-CBE的体积,求V(x)的表达式.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知:如图,圆O:x2+y2=2交x轴于A,B两点,曲线C是以AB为长轴,离心率为
2
2
的椭圆,其左焦点为F,若P是圆O上一点,连接PF,过原点O作直线PF的垂线交椭圆的左准线l于点Q.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若点P的坐标为(1,1),
①求线段PQ的长;
②求证:直线PQ与圆O相切.

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科目:高中数学 来源: 题型:

[选做题]在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.
A.(选修4-1:几何证明选讲)
如图,圆O的直径AB=8,C为圆周上一点,BC=4,过C作圆的切线l,过A作直线l的垂线AD,D为垂足,AD与圆O交于点E,求线段AE的长.
B.(选修4-2:矩阵与变换)
已知二阶矩阵A有特征值λ1=3及其对应的一个特征向量α1=
1
1
,特征值λ2=-1及其对应的一个特征向量α2=
1
-1
,求矩阵A的逆矩阵A-1
C.(选修4-4:坐标系与参数方程)
以平面直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系(两种坐标系中取相同的单位长度),已知点A的直角坐标为(-2,6),点B的极坐标为(4,
π
2
)
,直线l过点A且倾斜角为
π
4
,圆C以点B为圆心,4为半径,试求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程.
D.(选修4-5:不等式选讲)
设a,b,c,d都是正数,且x=
a2+b2
y=
c2+d2
.求证:xy≥
(ac+bd)(ad+bc)

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科目:高中数学 来源:江苏省期末题 题型:解答题

已知:如图,圆O:x2+y2=2交x轴于A,B两点,曲线C是以AB为长轴,离心率为的椭圆,其左焦点为F,若P是圆O上一点,连接PF,过原点O作直线PF的垂线交椭圆的左准线l于点Q.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若点P的坐标为(1,1),①求线段PQ的长;②求证:直线PQ与圆O相切.

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