Question

15．已知函数f（x）=px-$\frac{p}{x}$-2lnx，其中p∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）在（1，0）点的切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域内为单调递增函数，求实数p的取值范围；
（Ⅲ）若函数g（x）=$\frac{2e}{x}$，且p＞0，若在[1，e]上至少存在一个x的值使f（x）＞g（x）成立，求实数p的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据求导公式求出f′（x），由导数的几何意义求出切线的斜率，根据点斜式方程求出切线方程并化为一般式方程；
（Ⅱ）由导数与函数单调性的关系将条件转化为：f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，再分离常数p，利用基本不等式求出p的范围；
（Ⅲ）将条件转化为：不等式f（x）-g（x）＞0 在[1，e]上有解，再构造函数F（x）=f（x）-g（x），求出F′（x）化简后利用已知条件判断出符号，得到F（x）的单调性，求出F（x）在[1，e]的最大值，即可求出实数p的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由题意得，f′（x）=p+$\frac{p}{{x}^{2}}-\frac{2}{x}$=$\frac{p{x}^{2}-2x+p}{{x}^{2}}$，
∴在（1，0）点的切线d斜率k=2p-2，
∴在（1，0）点的切线方程是：y=（2p-2）（x-1）…（4分）
（Ⅱ）由（I）得f′（x）=$\frac{p{x}^{2}-2x+p}{{x}^{2}}$，且定义域是（0，+∞），
∵f（x）在其定义域内的单调递增函数，则f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
∴px²-2x+p≥0在（0，+∞）上恒成立，
∴$p≥\frac{2x}{{x}^{2}+1}$在（0，+∞）上恒成立即可，
∵$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$=$\frac{2}{x+\frac{1}{x}}$≤$\frac{2}{2\sqrt{x•\frac{1}{x}}}$=1，当且仅当$x=\frac{1}{x}$，即x=1时取等号，∴p≥1，
∴实数p的取值范围是[1，+∞） …（9分）
（Ⅲ）在[1，e]上至少存在一个x的值使f（x）＞g（x）成立，
等价于不等式f（x）-g（x）＞0 在[1，e]上有解，
设F（x）=f（x）-g（x）=px-$\frac{p}{x}$-2lnx-$\frac{2e}{x}$，
∵p＞0，x∈[1，e]，
∴F′（x）=p+$\frac{p}{{x}^{2}}-\frac{2}{x}$+$\frac{2e}{{x}^{2}}$=$\frac{p{x}^{2}-2x+p+2e}{{x}^{2}}$＞0，
∴F（x）在[1，e]上的增函数，F（x）的最大值是F（e）=$pe-\frac{p}{e}-4$，
依题意需$pe-\frac{p}{e}-4$＞0，解得p＞$\frac{4e}{{e}^{2}-1}$，
∴实数p的取值范围是（$\frac{4e}{{e}^{2}-1}$，+∞） …（14分）

点评 本题考查了导数的几何意义及切线方程，利用导数研究函数的单调性、最值，考查构造函数法，分离常数法，转化思想，以及化简、计算能力，属于中档题．