[题目]在△ABC中.a.b.c分别是角A.B.C的对边.且acosC＝(2b﹣c)cosA.(1)若3.求△ABC的面积,(2)若∠B＜∠C.求2cos2B+cos2C的取值范围. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且acosC＝（2b﹣c）cosA.

（1）若3，求△ABC的面积；

（2）若∠B＜∠C，求2cos2B+cos2C的取值范围.

【答案】（1）（2）（，）.

【解析】

（1）利用正弦定理可求角A，结合数量积3，可求△ABC的面积；

（2）结合角之间的关系，把2cos2B+cos2C化简为，然后结合角的范围可求.

（1）∵acosC＝（2b﹣c）cosA，

∴由正弦定理可得sinAcosC＝（2sinB﹣sinC）cosA，可得sinAcosC+sinCcosA＝sin（A+C）＝sinB＝2sinBcosA，

∵B为三角形内角，sinB≠0，

∴cosA，

又∵A∈（0，π），

∴A，

∵bccosAbc＝3，可得bc＝6，

∴S△ABCbcsinA.

（2）∵∠B＜∠C，CB，可得B∈（0，），

∴2B∈（，），

∴cos（2B）∈（，），

∴2cos2B+cos2C＝1+cos2Bcos2Bcos2（B）cos2Bcos2Bsin2Bcos（2B）∈（，）.

∴2cos2B+cos2C的取值范围（，）.

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（1）在该钢管厂生产的钢管中随机抽取10根进行检测，求至少有1根为废品的概率；

（2）监管部门规定每种规格钢管的“口径误差”的计算方式为：若钢管的内外两个口径实际长分别为，标准长分别为，则“口径误差”为，按行业生产标准，其中“一级品”“二级品”“合格品”的“口径误差”的范围分别是（正品钢管中没有“口径误差”大于的钢管），现分别从甲、乙两种产品的正品中各随机抽取100根，分别进行“口径误差”的检测，统计后，绘制其频率分布直方图如图所示：

　　　　甲种钢管　　　　　　　　　　　　　　　乙种钢管

已知经销商经销甲种钢管，其中“一级品”的利润率为0.3，“二级品”的利润率为0.18，“合格品”的利润率为0.1；经销乙种钢管，其中“一级品”的利润率为0.25，“二级品”的利润率为0.15，“合格品”的利润率为0.08，若视频率为概率.

（ⅰ）若经销商对甲、乙两种钢管各进了100万元的货，和分别表示经销甲、乙两种钢管所获得的利润，求和的数学期望和方差，并由此分析经销商经销两种钢管的利弊；

（ⅱ）若经销商计划对甲、乙两种钢管总共进100万元的货，则分别在甲、乙两种钢管上进货多少万元时，可使得所获利润的方差和最小？

附：若随机变量服从正态分布，则，，，.

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