Question

在平面直角坐标系xOy中，过点A(－2，－1)椭圆C∶＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，短轴端点为B₁、B₂，＝2b².
(1)求a、b的值；
(2)过点A的直线l与椭圆C的另一交点为Q，与y轴的交点为R.过原点O且平行于l的直线与椭圆的一个交点为P.若AQ·AR＝3OP²，求直线l的方程．

Answer 1

（1）a＝2，b＝（2）当k＝1时，直线l的方程为x－y＋1＝0，当k＝－2时，直线l的方程为2x＋y＋5＝0.

(1)因为F(－c,0)，B₁(0，－b)，B₂(0，b)，所以＝(c，－b)，＝(c，b)．
因为＝2b²，
所以c²－b²＝2b².①
因为椭圆C过A(－2，－1)，代入得，＝1.②
由①②解得a²＝8，b²＝2.
所以a＝2，b＝.
(2)由题意，设直线l的方程为y＋1＝k(x＋2)．
由得(x＋2)[(4k²＋1)(x＋2)－(8k＋4)]＝0.
因为x＋2≠0，所以x＋2＝，即x_Q＋2＝.
由题意，直线OP的方程为y＝kx.
由得(1＋4k²)x²＝8.则＝，
因为AQ·AR＝3OP².所以|x_Q－(－2)|×|0－(－2)|＝3.
即×2＝3×.
解得k＝1，或k＝－2.
当k＝1时，直线l的方程为x－y＋1＝0，当k＝－2时，直线l的方程为2x＋y＋5＝0