Question

4．对于函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}1-\left|x+1\right|，x∈[-2，0]\\ 2f（x-2），x∈（0，+∞）\end{array}\right.$，有如下三个命题：
①f（x）的单调递减区间为[2n-3，2n-2]（n∈N^*）
②f（x）的值域为[0，+∞）
③若-2＜a≤0，则方程f（x）=x+a在区间[-2，0]内有3个不相等的实根
其中，真命题是①②．（将真命题的序号填写在横线上）

Answer 1

分析 函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}1-\left|x+1\right|，x∈[-2，0]\\ 2f（x-2），x∈（0，+∞）\end{array}\right.$的图象，数形结合分析三个命题的真假，可得答案．

解答 解：函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}1-\left|x+1\right|，x∈[-2，0]\\ 2f（x-2），x∈（0，+∞）\end{array}\right.$的图象如下图所示：，由图可得：①f（x）的单调递减区间为[2n-3，2n-2]（n∈N^*），故①正确；
②f（x）的值域为[0，+∞），故②正确；
③若-2＜a≤0，则方程f（x）=x+a在区间[-2，0]内至多有有2个不相等的实根，故③错误；
故答案为①②

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的图象，函数的值域，函数的根与方程的零点，属于中档题．