Question

甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x(元)与年产量t(吨)满足函数关系x=2000，若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方S元(以下称S为赔付价格)．

    (1)将乙方的年利润W(元)表示为年产量t(吨)的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量．

    (2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失余额y=0．002t².在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格S是多少?

Answer 1

 [考场错解]  (1)因为赔付价格为S元／吨，所以乙方的实际利润为：

W=2000-St=(2000-S)=S(2000-)≤S·=1000³S．当且仅当=2000-.即t=10⁶(吨)时．W取得最大值．

(2)设甲方净收入为v元，则v=St-0.002t²,将t=10⁶代入上式v=10⁶S-10¹²×0.002=10⁶(S-2×10³).

∵v在(0，+∞)上是增函数．即S越大，v越大，故甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格S是任意大的数字．

 [专家把脉]  上面解答主要在第(1)问求w的最值时，变形出了错误，即由w=2000-St=S(2000-)正确的变形为w=2000-St=S(-)．这一步出错导致后面结果都是错误的．

    [对症下药]  (1)解法1

    因为赔付价格为S元／吨，所以乙方的实际年利润为：W=2000-St

    ∵W=2000-St=S(-)≤S=()²当且仅当=-即t=()²时，W取得最大值． ∴乙方取得最大年利润的年产量t=()²吨．

    解法2  因为赔付价格为S元／吨，所以乙方的实际年利润为W=2000-St．

    ∴W=2000-St=-S(-)²+  ∴当t=()²时，w取得最大值．

    ∴乙方取得最大年利润的年产量t=()² (吨)

解法3  因为赔付价格为S元／吨，所以乙方的实际年利润为：w=2000-St．

由w′=-S=,令w′=0得t=t₀=()²．当t<t₀时，w′>0；当t>t₀时，w′<0．所以t=t₀时w取得最大值．因此乙方取得最大年利润的年产量t₀=()²吨．

设甲方净收入为v元，则v=St-0．002t²． 将t=()²代入上式，得到甲方净收入v与赔付价格S之间的函数关系式v=-.又v′=--令v′=0得S=20，当S<20时，v′>0；当S>20时，v′<0，∴S=20时，v取得最大值．因此甲方向乙方要求赔付价格S=20(元／吨)时，获得最大净收入．