Question

【题目】已知函数f（x）=ex（2x﹣1），g（x）=ax﹣a（a∈R）．
（1）若y=g（x）为曲线y=f（x）的一条切线，求a的值；
（2）已知a＜1，若存在唯一的整数x0 ， 使得f（x0）＜g（x0），求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=ex（2x﹣1）+2ex=ex（2x+1），

设切点为（m，n），由题意可得a=em（2m+1），

又n=am﹣a=em（2m﹣1），

解方程可得，a=1或4

（2）解：函数f（x）=ex（2x﹣1），g（x）=ax﹣a

由题意知存在唯一的整数x0使得f（x0）在直线y=ax﹣a的下方，

∵f′（x）=ex（2x﹣1）+2ex=ex（2x+1），

∴当x＜﹣ 时，f′（x）＜0，

当x＞﹣ 时，f′（x）＞0，

∴当x=﹣ 时，f（x）取最小值﹣2 ，

当x=0时，f（0）=﹣1，当x=1时，f（1）=e＞0，

直线y=ax﹣a恒过定点（1，0）且斜率为a，

故﹣a＞f（0）=﹣1且f（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，

解得 ≤a＜1．

【解析】（1）求出导数，设出切点（m，n），求得切线的斜率，由切线的方程，可得a=em（2m+1），又n=am﹣a=em（2m﹣1），解方程可得a的值；（2）函数f（x）=ex（2x﹣1），g（x）=kx﹣k，问题转化为存在唯一的整数x0使得f（x0）在直线y=kx﹣k的下方，求导数可得函数的极值，数形结合可得﹣k＞f（0）=﹣1且f（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣k﹣k，解关于k的不等式组可得．