Question

在边长为3的正三角形ABC中，E、F、G分别是AB、BC、CA边上的点，满足(如图1).将△AEG沿EG折起到△A₁EG的位置，使二面角A₁EGB的大小为60°，连结A₁B,A₁F(如图2).

                        

图1                                    图2

(1)求证：EG⊥A₁B;

(2)求直线A₁B与平面BEF所成的角；

(3)求四棱锥A₁—BCGE的体积.

Answer 1

答案：(1)证明：在图1中AE=1，CF=CG=1，EB=BF=AG=2.

在△AEG中，AE=1，AG=2，∠A=60°.

∴EG²=1²+2²-2×1×2cos60°=3=AG²-AE²,

∴△AEG是直角三角形，AE⊥EG，BE⊥EG，于是图2中A₁E⊥EG，BE⊥EG，又A₁E∩BE=E.

∴EG⊥平面A₁BE，又∵A₁B平面A₁BE,

∴EG⊥A₁B.                                                                 

           

图1                                               图2

(2)解：∵A₁E⊥EG，BE⊥EG,∴∠A₁EB是二面角A₁EGB的平面角.由题设，∠A₁EB=60°.

在△A₁BE中，A₁E=1，BE=2，∠A₁EB=60°,∴A₁B²=1²+2²-2×1×2cos60°=3=BE²-A₁E²,

∴△A₁BE是直角三角形，∴∠EA₁B=90°.5分

作A₁H⊥BE于H.

∵EG⊥平面A₁BE,又A₁H平面A₁BE,

∴EG⊥A₁H.

又A₁H⊥BE,EG∩BE=E,∴A₁H⊥平面BEGF于H.

∴∠A₁BH是直线A₁B与平面BEF所成的角.

在Rt△A₁BE中∠A₁EB=60°,∴∠A₁BH=30°.9分

(3)解：A₁H·S_BCGE=A₁H(S_△ABC-S_△AEG)=.