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    【题目】已知数列满足：， . （其中为自然对数的底数，）

    （Ⅰ）证明：；

    （Ⅱ）设，是否存在实数，使得对任意成立？若存在，求出的一个值；若不存在，请说明理由.

    【答案】(1)见解析(2) 不存在满足条件的实数

    【解析】试题分析：（1）第（Ⅰ）问，先证明一个不等式，再利用该不等式证明. (2)第（Ⅱ）问，先利用数学归纳法证明，再利用该不等式证明不存在实数M.

    试题解析：（Ⅰ）证明：设，令，得到.

    当时，，单调递减；当时，，单调递增.

    故，即（当且仅当时取等号）.

    故 ，所以.

    （Ⅱ）先用数学归纳法证明.

    ①当时，.②假设当时，不等式成立，那么当时， ，也成立.故对都有.

    所以.

    取，

    .

    即 .

    所以，对任意实数，取，且，，

    则.

    故，不存在满足条件的实数.

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