Question

不等式e^x-x＞ax的解集为P，且[0，2]⊆P，则实数a的取值范围是

（-∞，e-1）

．

Answer 1

分析：由题意可得，对任意x∈[0，2]，e^x-x＞ax恒成立，分类讨论当x=0时，不等式成立，当0＜x≤2时，可得a＜

ex

x

-1恒成立，利用导数可求g（x）=

ex

x

-1在（0，2]上的最小值，从而可求a的范围

解答：解：因为e^x-x＞ax的解集为P，且[0，2]⊆P，
所以对任意x∈[0，2]，e^x-x＞ax恒成立，
当x=0时，不等式成立，
当0＜x≤2时，可得a＜

ex

x

-1恒成立．
令g（x）=

ex

x

-1，则g′（x）=

(x-1)ex

x2

，
当1＜x≤2时，g′（x）＞0，当0＜x＜1时，g′（x）＜0．
所以当x=1时，g（x）取得最小值e-1，所以a的取值范围是（-∞，e-1）．

点评：本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，求解函数的最值，函数恒成立与函数最值求解的相互转化