Question

已知α，β为锐角，且tan（2α+β）=

3

t

，tanα=

1

t

，（t∈[1，2]），求α+β的最大值．

Answer 1

考点：两角和与差的正切函数

专题：计算题,三角函数的求值

分析：由两角差的正切公式得到则tan（α+β）=tan[（2α+β）-α]=

2

t+ 3 t

，再由导数求出t+

3

t

的极小值点，也为最小值点，代入注意角的范围，即可得到最大值．

解答： 解：由于α，β为锐角，且tan（2α+β）=

3

t

，tanα=

1

t

，
则tan（α+β）=tan[（2α+β）-α]=

tan(2α+β)-tanα

1+tan(2α+β)tanα

=

2 t

1+ 3 t2

=

2

t+ 3 t

，
由于1≤t≤2，则（t+

3

t

）′=1-

3

t2

=0，则得t=

3

（负值舍去），
检验得t=

3

为极小值点，也为最小值点，
则有t+

3

t

的值域为[2

3

，4]，
则有tan（α+β）的最大值为

3

3

，
由于0＜α+β＜π，
即有α+β的最大值为

π

6

．

点评：本题考查三角函数的求值，考查两角差的正切函数的公式，考查函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．