Question

数列{a_n}各项均为正数，其前n项和为S_n，且满足2anSn-an2=1．
（Ⅰ）求证数列{

S

2 n

}为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=

2

4S 4 n -1

，求数列{b_n}的前n项和T_n，并求使T_n＞

1

6

（m²-3m） 对所有的n∈N^*都成立的最大正整数m的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据数列递推式，再写一式，两式相减，即可证得数列{

S

2 n

}为等差数列，求出{S_n}的通项，即可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用裂项法求数列{b_n}的前n项和，再求最值，利用T_n＞

1

6

（m²-3m），即可求得结论．

解答：（Ⅰ）证明：∵2anSn-an2=1，∴当n≥2时，2(Sn-Sn-1)Sn-(Sn-Sn-1)2=1，
整理得，Sn2-Sn-12=1（n≥2），（2分）
又S12=1，（3分）
∴数列{

S

2 n

}为首项和公差都是1的等差数列．              （4分）
∴

S

2 n

=n，
又S_n＞0，∴S_n=

n

                       （5分）
∴n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

n

-

n-1

，又a₁=S₁=1适合此式
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=

n

-

n-1

；（（7分）
（Ⅱ）解：∵b_n=

2

4S 4 n -1

=

2

(2n-1)(2n+1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1

（8分）
∴T_n=1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

=1-

1

2n+1

=

2n

2n+1

（10分）
∴T_n≥

2

3

，
依题意有

2

3

＞

1

6

（m²-3m），解得-1＜m＜4，
故所求最大正整数m的值为3   （12分）

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的求和，考查解不等式，属于中档题．