Question

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长均为2，P是侧棱AA₁上任意一点．
（1）求正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积；
（2）判断直线B₁P与平面ACC₁A₁是否垂直，请证明你的结论；
（3）当BC₁⊥B₁P时，求二面角C-B₁P-C₁的余弦值．

Answer 1

分析：1、根据公式求解即可．2、利用空间直角坐标系，根据向量可以证明．3、借用（2）中的坐标系，利用法向量求解．

解答：解：（1）VABC-A1B1C1=S△ABC•AA1=

3

4

×22×2=2

3

，（3分）
（2）建立如图空间坐标系O-xyz，设AP=a，（4分）
则A，C，B₁，P的坐标分别为(0，-1，0)，(0，1，0)，(

3

，0，2)，(0，-1，a)；（6分）
∴

AC

=(0，2，0)，

B1P

=(-

3

，-1，a-2)

AC

•

B1P

=-2≠0，
∴B₁P不垂直AC；
∴直线B₁P不可能与平面ACC₁A₁垂直；（8分）

（3）

BC1

=(-

3

，1，2)，
由BC₁⊥B₁P，得

BC1

•

B1P

=0，
即2+2（a-2）=0∴a=1；
又BC₁⊥B₁C∴BC₁⊥面CB₁P；
∴

BC1

=(-

3

，1，2)是面CB₁P的法向量；（10分）
设面C₁B₁P的法向量为

n

=(1，y，z)，
由

B1P • n =0 B1C1 • n =0

得

n

=(1，

3

，-2

3

)，（12分）
设二面角C-B₁P-C₁的大小为α，则cosα=

BC1 • n

| BC1| | n|

=

6

4

，
∴二面角C-B₁P-C₁的余弦值大小为

6

4

．（14分）

点评：本题考查学生的空间想象能力，空间直角坐标系的使用，及二面角的求法，是中档题．