Question

11．利用定义证明：函数f（x）=x³-6x在区间[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]上是单调减函数．

Answer 1

分析 根据减函数的定义，设任意的${x}_{1}，{x}_{2}∈[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$，且x₁＜x₂，然后作差，分解因式，提取公因式x₁-x₂，从而证明f（x₁）＞f（x₂），这样即可得出f（x）在区间$[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$上为单调减函数．

解答 证明：设${x}_{1}，{x}_{2}∈[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$，且x₁＜x₂，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）={{x}_{1}}^{3}-6{x}_{1}-{{x}_{2}}^{3}+6{x}_{2}$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）（{{x}_{1}}^{2}+{x}_{1}{x}_{2}+{{x}_{2}}^{2}-6）$；
∵${x}_{1}，{x}_{2}∈[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$，且x₁＜x₂；
∴x₁-x₂＜0，${{x}_{1}}^{2}＜2，{{x}_{1}x}_{2}＜2，{{x}_{2}}^{2}≤2$，${{x}_{1}}^{2}+{x}_{1}{x}_{2}+{{x}_{2}}^{2}＜6$；
∴${{x}_{1}}^{2}+{x}_{1}{x}_{2}+{{x}_{2}}^{2}-6＜0$；
∴$（{x}_{1}-{x}_{2}）（{{x}_{1}}^{2}+{x}_{1}{x}_{2}+{{x}_{2}}^{2}-6）＞0$；
即f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在区间$[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$上是单调减函数．

点评 考查减函数的定义，以及根据减函数的定义证明一个函数为减函数的方法和过程，立方差公式，作差的方法比较f（x₁），f（x₂），作差后一般要提取公因式x₁-x₂．