Question

15．已知实数p，q，r满足：p+q+r=m，且p²+q²+r²=m（m＞0）．
（1）当r=$\frac{1}{2}$，求m的取值范围；
（2）当m=1，且p，q都不为0，求$\frac{1}{p}$+$\frac{1}{q}$的取值范围；
（3）求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）化简得出pq=$\frac{1}{2}$[m²-2m$+\frac{1}{2}$]，p+q=m-$\frac{1}{2}$，构造x²-（m-$\frac{1}{2}$）x$+\frac{1}{2}$[m²-2m$+\frac{1}{2}$]=0的两个不为0的根p，q，运用方程有根得出△=（m-$\frac{1}{2}$）²-4×$\frac{1}{2}$[m²-2m$+\frac{1}{2}$]≥0，即可求解．
（2）p+q=1-r，p²+q²=1-r²，pq=r²-r，化简得出$\frac{1}{p}$+$\frac{1}{q}$=$-\frac{1}{r}$，构造x²-（1-r）x+（r²-r）=0的两个不为0的根p，q，△=（1-r）²-4（r²-r）≥0，得出r的范围，即可求解问题．
（3）平方得出p²+q²+r²+2pq+2pr+2qr=m²，根据基本不等式得出2（p²+q²+r²）≥2pq+2pr+2qr，整体代入3（p²+q²+r²）≥${m}^{{\;}^{2}}$，得出3m≥m²，利用条件求解即可．

解答 解：∵p+q+r=m，且p²+q²+r²=m（m＞0）
∴p+q=m-r，p²+q²=m-r²，
（1）当r=$\frac{1}{2}$，则pq=$\frac{1}{2}$[m²-2m$+\frac{1}{2}$]，
p+q=m-$\frac{1}{2}$，
构造x²-（m-$\frac{1}{2}$）x$+\frac{1}{2}$[m²-2m$+\frac{1}{2}$]=0的两个不为0的根p，q，
∴△=（m-$\frac{1}{2}$）²-4×$\frac{1}{2}$[m²-2m$+\frac{1}{2}$]≥0，
即4m²-12m+3≤0，
m∈[$\frac{3-\sqrt{6}}{2}$，$\frac{3+\sqrt{6}}{2}$]；
（2）当m=1时，p+q=1-r，p²+q²=1-r²，
pq=r²-r，
∴$\frac{1}{p}$+$\frac{1}{q}$=$\frac{p+q}{pq}$=$\frac{1-r}{{r}^{2}-r}$=$-\frac{1}{r}$，
构造x²-（1-r）x+（r²-r）=0的两个不为0的根p，q，
∴△=（1-r）²-4（r²-r）≥0，
即r∈[-$\frac{1}{3}$，0）∪（0，1]，
∴$-\frac{1}{r}$∈[3，+∞）∪（-∞，-1]，
∵$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}$≠-1
$\frac{1}{p}$+$\frac{1}{q}$的取值范围：[3，+∞）∪（-∞，-1），
（3）∵p+q+r=m，且p²+q²+r²=m（m＞0）．
∴p²+q²+r²+2pq+2pr+2qr=m²，
2（p²+q²+r²）≥2pq+2pr+2qr，
∴3（p²+q²+r²）≥${m}^{{\;}^{2}}$，
即3m≥m²，
求解得出m≤3，
∵m＞0，
∴m的取值范围：（0.3]

点评 本题考察了学生的恒等变形能力，方程数学，基本不等式的运用，对字母较多的式子，化简运算的能力．属于中档题．