Question

【题目】已知点P（x，y）是曲线C上任意一点，点（x，2y）在圆x2+y2=8上，定点M（2，1），平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），直线l与曲线C交于A、B两个不同点．
（1）求曲线C的方程；
（2）求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．

Answer 1

【答案】
（1）解：在曲线C上任取一个动点P（x，y），

则点（x，2y）在圆x2+y2=8上．

所以有x2+（2y）2=8．

整理得曲线C的方程为

（2）解：∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m，又KOM= ，

∴直线l的方程为y= x+m．

由 ，

∴x2+2mx+2m2﹣4=0，∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，∴△=（2m）2﹣4（2m2﹣4）＞0，

解得﹣2＜m＜2且m≠0．∴m的取值范围是﹣2＜m＜0或0＜m＜2．

设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，A（x1，y1），B（x2，y2），

则k1= ，k2= ，

由x2+2mx+2m2﹣4=0可得x1+x2=﹣2m，x1x2=2m2﹣4．

k1+k2= ++

=

=

= =0．

k1+k2=0．

故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形

【解析】（1）先设曲线C上任取一个动点P的坐标（x，y），然后根据题意（x，2y）在圆x2+y2=8上，整理即可解出曲线C的方程．（2）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解直线与圆的三种位置关系(直线与圆有三种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交,这条直线叫做圆的割线；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点)．