Question

已知离心率为

2

2

的椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点M（

6

，1，O是坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点A、B为椭圆C上相异两点，且

OA

⊥

OB

，判定直线AB与圆O：x²+y²=

8

3

的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）由

c a = 2 2 a2=b2+c2 ( 6 )2 a2 + 1 b2 =1

，能求出椭圆C的方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为：y=kx+m，由

y=kx+m x2 8 + y2 4 =1

，得：（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，由△=8（8k²-m²+4）＞0，知8k²-m²+4＞0，由韦达定理得：

x1+x2=- 4km 1+2k2 x1•x2= 2m2-8 1+2k2

，y₁•y₂=（kx₁+m）•（kx₂+m）=

m2-8k2

1+2k2

．由

OA

⊥

OB

得x₁x₂+y₁y₂=0．由圆心到直线的距离d=

|m|

1+k2

，能够推导出直线AB与圆O相切．

解答：解：（1）由

c a = 2 2 a2=b2+c2 ( 6 )2 a2 + 1 b2 =1

，解得：

a2=8 b2=4 c2=4

，故椭圆C的方程为

x2

8

+

y2

4

=1．（4分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为：y=kx+m，
由

y=kx+m x2 8 + y2 4 =1

，得：（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，（1分）
则△=8（8k²-m²+4）＞0，即8k²-m²+4＞0，
由韦达定理得：

x1+x2=- 4km 1+2k2 x1•x2= 2m2-8 1+2k2

，（1分）
则y₁•y₂=（kx₁+m）•（kx₂+m）
=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
=

m2-8k2

1+2k2

．
由

OA

⊥

OB

得：
x₁x₂+y₁y₂=0，（1分）
即

2m2-8

1+2k2

+

m2-8k2

1+2k2

=0，化简得：3m²-8k²-8=0，（1分）
因为圆心到直线的距离d=

|m|

1+k2

，（1分）
d2=

m2

1+k2

=

m2

1+ 3m2-8 8

=

8

3

，
而r2=

8

3

，∴d²=r²，即d=r．（1分）
此时直线AB与圆O相切
当直线AB的斜率不存在时，由

OA

⊥

OB

可以计算得A，B的坐标为(

2 6

3

，±

2 6

3

)或(-

2 6

3

，±

2 6

3

)．
此时直线AB的方程为x=±

2 6

3

．
满足圆心到直线的距离等于半径，即直线AB与圆O相切．（1分）
综上，直线AB与圆O相切．（1分）

点评：本题考查椭圆C的方程，判定直线与圆的位置关系，并证明．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活运用椭圆性质，合理地进行等价转化．