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15.某皮革公司旗下有许多手工足球作坊为其生产足球,公司打算生产两种不同类型的足球,一款叫“飞火流星”,另一款叫“团队之星”.每生产一个“飞火流星”足球,需要橡胶100g,皮革300g;每生产一个“团队之星”足球,需要橡胶50g,皮革400g.且一个“飞火流星”足球的利润为40元,一个“团队之星”足球的利润为30元.现旗下某作坊有橡胶材料2.5kg,皮革12kg.
(1)求该作坊可获得的最大利润;
(2)若公司规定各作坊有两种方案可供选择,方案一:作坊自行出售足球,则所获利润需上缴10%方案二:作坊选择由公司代售,则公司不分足球类型,一律按相同的价格回收,作坊每个球获得30元的利润.若作坊所生产的足球可全部售出,请问该作坊选择哪种方案更划算?请说明理由.

分析 (1)设该作坊生产“飞火流星”足球x个,“团队之星”足球y个,作坊获得的利润为z元.则$\left\{{\begin{array}{l}{100x+50y≤2500}\\{300x+400y≤12000}\\{x≥0,y≥0}\end{array}\begin{array}{l}{\;}\\ left\{\;}\end{array}}\right.$即$\left\{{\begin{array}{l}{2x+y≤50}\\{3x+4y≤120}\\{x≥0,y≥0}\end{array}}\right.$,目标函数z=40x+30y,(x,y∈N).由图可求该作坊可获得的最大利润.
(2)分别求出两种方案的利润即可.

解答 【解析】(1)设该作坊生产“飞火流星”足球x个,
“团队之星”足球y个,作坊获得的利润为z元.


则$\left\{\begin{array}{l}{100x+50y≤2500}\\{300x+400y≤1200}\\{x≥0,y≥0}\end{array}\right.$,即$\left\{\begin{array}{l}{2x+y≤50}\\{3x+4y≤120}\\{x≥0,y≥0}\end{array}\right.$,
目标函数z=40x+30y,(x,y∈N).…(3分)
由图可知,当直线l经过点(16,18)时,
z取得最大值1180,即该作坊可获得的最大利润为1180元.…(6分)
(2)若作坊选择方案一,则其收益为1180×(1-10%)=1062元;…(8分)
若作坊选择方案二,则作坊生产的足球越多越好,设其生产的足球个数为t,
则t=x+y,(x,y∈N),由(1)知$\left\{\begin{array}{l}{2x+y≤50}\\{3x+4y≤120}\\{x≥0,y≥0}\end{array}\right.$,
作图分析可知,当x=16,y=18时,t取得最大值,此时作坊的收益为(16+18)×30=1020元,
故选择方案一更划算.…(12分)

点评 本题考查了一次函数、不等式组,及线性规划问题,属于中档题.

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