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    已知圆C：x2+(y-
    1
    4
    )2=
    1
    16
    ，动圆M与圆C外切，圆心M在x轴上方且圆M与x轴相切．
    （I）求圆心轨迹M的曲线方程；
    （II）若A（0，-2）为y轴上一定点，Q（t，0）为x轴上一动点，过点Q且与AQ垂直的直线与轨迹M交于D，B两点（D在线段BQ上），直线AB与轨迹M交于E点，求
    AD
    •
    AE
    的最小值．
    分析：（Ⅰ）利用动圆M与圆C外切，圆心M在x轴上方且圆M与x轴相切，可知M到C的距离等于M到直线y=-
    1
    4
    的距离，从而圆心轨迹为抛物线；
    （II）由题意，先求得D(
    t
    2
    ，
    t2
    4
    )，B(-t，t2)    ，从而AB方程为y+2=
    t2+2
    -t
    x    ，再求得E(-
    2
    t
    ，
    4
    t2
    )    ，进而可表示
    AD
    •
    AE
    ，利用基本不等式求最小值．
    解答：解：（Ⅰ）设M（x，y），则MC=
    1
    4
    +y    ，即M到C的距离等于M到直线y=-
    1
    4
    的距离，从而圆心轨迹M的曲线方程为x2=y；
    （II）由题意，不妨设t＞0．设QB方程为：y=-
    t
    2
    (x-t)    与x2=y联立，求得D(
    t
    2
    ，
    t2
    4
    )，B(-t，t2)    ，从而AB方程为y+2=
    t2+2
    -t
    x    ，与x2=y联立，求得E(-
    2
    t
    ，
    4
    t2
    )    ，∴
    AD
    •
    AE
    =
    t2
    2
    +
    8
    t2
    +4≥8    ，即
    AD
    •
    AE
    的最小值为8．
    点评：本题考查轨迹方程的求法，以及抛物线定义的应用，考查直线与抛物线的位置关系，有一定难度．
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源：数学教研室 题型：044

    已知圆C：x2+(y－1)2=5，直线l：mx－y+1－m=0

    （1）求证：对,直线l与圆C总有两个不同的交点；

    （2）设l与圆C交于A、B两点，若，求l的倾角；

    (3)求弦AB的中点M的轨迹方程；

    （4）若定点P(1，1)分弦AB为，求此时直线l的方程.

     

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    科目：高中数学 来源： 题型：044

    已知圆C：x2+(y-1)2=1和圆C1：(x-2)2+(y-1)2=1，现在构造一系列的圆C1，C2，C3…，Cn，…，使圆Cn+1与Cn和圆C都相切，并都与Ox轴相切．

    （1）求圆Cn的半径rn；（2）证明：两个相邻圆Cn-1和Cn在切点间的公切线长为；

    （3）求和

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    科目：高中数学 来源：2010-2011年河南省许昌高一下学期第四次五校联考数学试卷 题型：解答题

    （（本小题满分12分）

     已知圆C：x2+(y－1)2 =5，直线l：mx－y+l－m=0，

     （1）求证：对任意，直线l与圆C总有两个不同的交点。

     （2）设l与圆C交于A、B两点，若| AB | = ，求l的倾斜角；

     （3）求弦AB的中点M的轨迹方程；


     

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    科目：高中数学 来源：同步题 题型：解答题

    已知圆C：x2+(y-1)2=5，直线l：mx-y+1-m=0。
    （Ⅰ）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点；
    （Ⅱ）设l与圆C交与不同两点A、B，求弦AB的中点M的轨迹方程；
    （Ⅲ）若定点P（1，1）分弦AB为，求此时直线l的方程。

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