Question

如图，点F是椭圆的左焦点，A、B是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为．点C在x轴上，BC⊥BF，且B、C、F三点确定的圆M恰好与直线相切．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过F作一条与两坐标轴都不垂直的直线l交椭圆于P、Q两点，在x轴上是否存在定点N，使得NF恰好为△PNQ的内角平分线，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）从=着手分析a、b、c之间的关系，再结合条件BC⊥BF，且B、C、F三点确定的圆M恰好与直线相切，可求得a，从而可求得椭圆的方程；
（Ⅱ）假设在x轴上是否存在定点N，使得NF恰好为△PNQ的内角平分线，利用角平分线的性质定理得：=，再结合椭圆的定义进行转化即可．
解答：解：（Ⅰ）∵=，
∴c=a，b==a，
又F（-c，0），B（0，b），在直角三角形BFO中，tan∠BFO===，
∴∠BFO=．|BF|=a．
∵BC⊥BF，
∴∠BCF=，
∴|CF|=2a．
∴B、C、F三点确定的圆M的圆心M的坐标为：（，0），半径r=a；
又圆M与直线相切，
∴圆心M到直线x+y+3=0的距离等于r，即=a，又a＞0，
∴a=2，
∴b=．
∴椭圆的方程为：．
（Ⅱ）假设在x轴上是否存在定点N，使得NF恰好为△PNQ的内角平分线，
则由角平分线的性质定理得：=，又|PF|+|PN|=2a=4，|QF|+|QN|=2a=4，
∴=，
∴|PF|=|QF|，即F为PQ的中点，
∴PQ⊥x轴，这与已知“过F作一条与两坐标轴都不垂直的直线l交椭圆于P、Q两点”矛盾，
∴假设不成立，即在x轴上不存在定点N，使得NF恰好为△PNQ的内角平分线．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，求椭圆的方程，关键在于根据题意从角入手分析出a、b、c之间的关系，难点在于（Ⅱ）中椭圆定义的灵活应用，属于难题．