Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，且PD=AB=a，E是PB的中点．
（1）求异面直线PD与AE所成角的正切值；
（2）在平面PAD内求一点F，使得EF⊥平面PBC；
（3）在（2）的条件下，求二面角F-PC-E的正切值．

Answer 1

分析：（1）连接AC、BD交于点H，连接EH，由EH∥PD，可得∠AEH为异面直线PD与AE所成的角，解三角形AEH即可得到异面直线PD与AE所成角的正切值；
（2）设F为AD的中点，连接EF、HF，由三角形的中位线定理可得HF∥AB，进而可得BC⊥平面EFH，则BC⊥EF，由勾股定理又可得到EF⊥PB，结合线面垂直的判定定理可得EF⊥平面PBC．
（3）由已知中PD⊥平面ABCD，由三垂线定理可得，PC⊥BC，取PC的中点G，连接EG，可得∠FGE为二面角F-PC-E的平面角，解三角形FGE即可得到二面角F-PC-E的正切值．

解答：解：（1）连接AC、BD交于点H，连接EH．
∵BH=DH，PE=EB，∴EH∥PD，
∴∠AEH为异面直线PD与AE所成的角，
∵EH=

1

2

PD=

a

2

，
AH=

1

2

AC=

2

2

a，
∴tan∠AEH=

AH

EH

=

2

，即异面直线PD与AE所成角的正切值为

2

．
（2）设F为AD的中点，连接EF、HF．∵H、F分别为BD、AD的中点，∴HF∥AB，故HF⊥BC，又EH⊥BC，∴BC⊥平面EFH，因此BC⊥EF．


又PF²=PD²+DF²=

5

4

a²，BF²=AB²+AF²=

5

4

a²，
E为PB的中点，∴EF⊥PB．∴EF⊥平面PBC，即点F为AD的中点时满足题意．
（3）∵PD⊥平面ABCD，∴CD是PC在平面ABCD上的射影．
又CD⊥BC，∴PC⊥BC．取PC的中点G，连接EG，则EG∥BC，∴EG⊥PC，连接FG．
∵EF⊥平面PBC，∴EG是FG在平面PBC上的射影，且PC⊥EG，∴FG⊥PC．∴∠FGE为二面角F-PC-E的平面角，
∵EG=

1

2

BC=

a

2

，
EF=

EH2+FH2

=

2	^

2=

2

2

a，
∴tan∠FGE=

EF

EG

=

2

，
∴二面角F-PC-E的正切值为

2

．

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，异面直线及其所成的角，直线与平面垂直的判定，其中（1）（2）的关键是熟练掌握空间线线垂直，线面垂直，面面垂直之间的转换；（3）的关键是求出∠FGE为二面角F-PC-E的平面角．