Question

已知函数是奇函数，并且函数f（x）的图象经过点（1，3）
（1）求实数a，b的值；
（2）当x＞0时，求出函数f（x）的递增区间，并用定义进行证明；
（3）求函数f（x）当x＞0时的值域．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（-x）+f（x）=0可求得b=0；又f（x）的图象经过点（1，3），从而可求得a；
（2）当x＞0时，f（x）=2x+在[，+∞）上单调递增，利用单调性的定义证明即可；
（3）可利用导数判断f（x）=2x+在[，+∞）上单调递增，在（0，]上单调递减，从而可确定函数f（x）当x＞0时的值域．
解答：解：（1）∵f（x）=是奇函数，
∴f（-x）+f（x）=+=（1+ax²）•=0，
∴b=0；
∴f（x）=，又f（x）的图象经过点（1，3），
∴=3，
∴a=2；
∴f（x）=2x+；
（2）当x＞0时，f（x）=2x+在[，+∞）上单调递增．
证明：令≤x₁＜x₂，
则f（x₂）-f（x₁）=2（x₂-x₁）+（-）=（x₂-x₁）（2-），
∵≤x₁＜x₂，
∴0＜＜2，于是2-＞0，
∴（x₂-x₁）（2-）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁）．
∴当x＞0时，f（x）=2x+在[，+∞）上单调递增．
（3）∵f（x）=2x+（x＞0），
∴f′（x）=2-，由f′（x）≥0可得x≥，由f′（x）＜0可得0＜x＜，
∴f（x）=2x+在[，+∞）上单调递增，在（0，]上单调递减．
∴f（x）=2x+在x=处取到最小值2，
∴当x＞0时f（x）=2x+的值域为：[2，+∞）．
点评：本题考查函数奇偶性与单调性的综合，难点在于函数单调增区间的确定（导数法先判断，再用定义证明），着重考查函数奇偶性与单调性的性质及其应用，综合性强，属于难题．