Question

8．解下列关于x的不等式：
（1）$（\frac{1}{3}）^{{x}^{2}-2x}＞1$；
（2）log₂$\sqrt{x}+lo{g}_{\sqrt{2}}（2x）＜\frac{23}{4}$．

Answer 1

分析 （1）化为同底数，然后利用指数式的单调性化为一元二次不等式求解；
（2）利用对数的运算性质变形，化为同底数，再由对数的运算性质得答案．

解答 解：（1）由$（\frac{1}{3}）^{{x}^{2}-2x}＞1$=$（\frac{1}{3}）^{0}$，得x²-2x＜0，解得0＜x＜2，
∴不等式$（\frac{1}{3}）^{{x}^{2}-2x}＞1$的解集为（0，2）；
（2）由log₂$\sqrt{x}+lo{g}_{\sqrt{2}}（2x）＜\frac{23}{4}$，得$\frac{1}{2}lo{g}_{2}x+2（1+lo{g}_{2}x）＜\frac{23}{4}$，
即$\frac{5}{2}lo{g}_{2}x＜\frac{15}{4}$，解得0$＜x＜2\sqrt{2}$，
∴不等式log₂$\sqrt{x}+lo{g}_{\sqrt{2}}（2x）＜\frac{23}{4}$的解集为（0，$2\sqrt{2}$）．

点评 本题考查指数不等式和对数不等式的解法，考查了数学转化思想方法，是中档题．