设函数。
(Ⅰ)若在定义域内存在,使不等式能成立,求实数的最小值;
(Ⅱ)若函数在区间上恰有两个不同的零点,求实数的取值范围。
(1)1;(2)
【解析】
试题分析:(1)不等式转化为:能成立,求m最小值。可以转化成求函数在定义域内的最小值。(2)函数在上有两个不同零点,所以在上有两个不同的解,可以令,结合图形研究函数的性质即可。
解答过程:(Ⅰ)要使得不等式能成立,只需。 ………………1分
求导得:,…………………………………2分
∵函数的定义域为, ……………………………………3分
当时,,∴函数在区间上是减函数;
当时,,∴函数在区间(0,+∞)上是增函数。 …………5分
∴, ∴。故实数的最小值为1。……………………6分(Ⅱ)由得:
…………………7分
由题设可得:方程在区间上恰有两个相异实根。
设。∵,列表如下:
|
|||||
|
- |
0 |
+ |
|
|
|
减函数 |
增函数 |
∵,∴。
从而有,
画出函数在区间上的草图(见图),
易知要使方程在区间上恰有两个相异实根,
只需:,即: 。 ……………12分
考点:本题考查了含参函数中参数的转化问题,将存在性问题转化为函数的最值和函数性质的研究,还需要借助图象工具,数形结合,为一道水平较高的题目。
点评:本题需要灵活转化,还要有一定逻辑分析能力和一定的计算能力,在难度上属于中等偏上,第一问计算简单,第二步计算在能力要求上有所增加。
科目:高中数学 来源: 题型:
p |
x |
2e |
x |
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科目:高中数学 来源: 题型:
1 |
x |
e |
x |
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科目:高中数学 来源:2012-2013学年福建省高三第一次阶段考试理科数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本小题满分14分)设函数。
(1)若在处取得极值,求的值;
(2)若在定义域内为增函数,求的取值范围;
(3)设,当时,
求证:① 在其定义域内恒成立;
求证:② 。
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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题
1 |
x |
e |
x |
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科目:高中数学 来源:桂林模拟 题型:解答题
p |
x |
2e |
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