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(2008•卢湾区二模)(文)已知锐角三角形ABC的三边为连续整数,且角A、B满足A=2B.
(1)当
π
5
<B<
π
4
时,求△ABC的三边长及角B(用反三角函数值表示);
(2)求△ABC的面积S.
分析:(1)根据三角形三边长为连续的正整数,设中间的边长为n,表示出前一个和后一个边长,由A=2B,利用内角和定理表示出C,把A=2B代入可用B表示出C,由B的范围,得到A的范围,可得到C的范围,进而得到三个角的大小关系,根据大角对大边可得n+1为角A的对边,n-1为B的对边,利用正弦定理列出关系式,把A=2B代入并利用二倍角的正弦函数公式化简,可表示出cosB,再利用余弦定理表示出cosB,两者相等列出关于n的方程,求出方程的解即可得到n的值,进而求出cosB的值,由B为锐角,利用反函数定义即可表示出B;
(2)由(1)求出cosB的值及B为锐角,利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值,再由a与c的值,利用三角形的面积公式即可求出三角形的面积.
解答:解:(1)设△ABC的三边为n-1,n,n+1(n≥3,n∈N),
由题设A=2B得:C=π-A-B=π-3B,
由题意
π
5
<B<
π
4
,得
5
<A<
π
2

可得
π
4
<C<
5

从而A>C>B,得角B所对的边为n-1,角A所对的边为n+1,(4分)
故有
n-1
sinB
=
n+1
sin2B

cosB=
n+1
2(n-1)
,又cosB=
n2+(n+1)2-(n-1)2
2n(n+1)

n+1
2(n-1)
=
n2+(n+1)2-(n-1)2
2n(n+1)

解得n=5,
故△ABC的三边长为4,5,6,(7分)
cosB=
3
4
,从而B=arccos
3
4
;(10分)
(2)由B=arccos
3
4
,得到cosB=
3
4
,又B为锐角,
sinB=
7
4
,又a=6,c=5,
S=
1
2
acsinB=
15
7
4
.(14分)
点评:此题考查了正弦、余弦定理,二倍角的正弦函数公式,同角三角函数间的基本关系,以及三角形的面积公式,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.
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arccos
3
3
arccos
3
3
(用反三角函数值表示).

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2-x
x+3
>1
的解集为
{x|-3<x<-
1
2
}
{x|-3<x<-
1
2
}

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lim
n→∞
(1+
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=
e
2
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e
2
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3
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