Question

（2008•卢湾区二模）（文）已知锐角三角形ABC的三边为连续整数，且角A、B满足A=2B．
（1）当

π

5

＜B＜

π

4

时，求△ABC的三边长及角B（用反三角函数值表示）；
（2）求△ABC的面积S．

Answer 1

分析：（1）根据三角形三边长为连续的正整数，设中间的边长为n，表示出前一个和后一个边长，由A=2B，利用内角和定理表示出C，把A=2B代入可用B表示出C，由B的范围，得到A的范围，可得到C的范围，进而得到三个角的大小关系，根据大角对大边可得n+1为角A的对边，n-1为B的对边，利用正弦定理列出关系式，把A=2B代入并利用二倍角的正弦函数公式化简，可表示出cosB，再利用余弦定理表示出cosB，两者相等列出关于n的方程，求出方程的解即可得到n的值，进而求出cosB的值，由B为锐角，利用反函数定义即可表示出B；
（2）由（1）求出cosB的值及B为锐角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，再由a与c的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形的面积．

解答：解：（1）设△ABC的三边为n-1，n，n+1（n≥3，n∈N），
由题设A=2B得：C=π-A-B=π-3B，
由题意

π

5

＜B＜

π

4

，得

2π

5

＜A＜

π

2

，
可得

π

4

＜C＜

2π

5

，
从而A＞C＞B，得角B所对的边为n-1，角A所对的边为n+1，（4分）
故有

n-1

sinB

=

n+1

sin2B

，
得cosB=

n+1

2(n-1)

，又cosB=

n2+(n+1)2-(n-1)2

2n(n+1)

，
得

n+1

2(n-1)

=

n2+(n+1)2-(n-1)2

2n(n+1)

，
解得n=5，
故△ABC的三边长为4，5，6，（7分）
得cosB=

3

4

，从而B=arccos

3

4

；（10分）
（2）由B=arccos

3

4

，得到cosB=

3

4

，又B为锐角，
∴sinB=

7

4

，又a=6，c=5，
则S=

1

2

acsinB=

15 7

4

．（14分）

点评：此题考查了正弦、余弦定理，二倍角的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．