Question

1．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c满足f（1）=0，b=2c．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）的图象在y轴上的交点的纵坐标是正数，比较f（0），f（$\frac{1}{2}$），f（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）的大小．

Answer 1

分析 （1）由已知可得-$\frac{b}{2a}$=$\frac{1}{3}$，即二次函数f（x）=ax²+bx+c的图象关于直线x=$\frac{1}{3}$对称，对a的符号进行分类讨论，可得函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）的图象在y轴上的交点的纵坐标是正数，则c＞0，b＞0，a＜0，结合（1）中结论，可得自变量x的值，距离对称轴x=$\frac{1}{3}$越近，函数值越大，进而得到答案．

解答 解：（1）∵二次函数f（x）=ax²+bx+c满足f（1）=0，b=2c．
∴a+b+c=a+$\frac{3}{2}b$=0，
即-$\frac{b}{2a}$=$\frac{1}{3}$，
即二次函数f（x）=ax²+bx+c的图象关于直线x=$\frac{1}{3}$对称，
当a＜0，函数f（x）的单调递增区间为（-∞，$\frac{1}{3}$]，单调递减区间为[$\frac{1}{3}$，+∞）；
当a＞0，函数f（x）的单调递减区间为（-∞，$\frac{1}{3}$]，单调递增区间为[$\frac{1}{3}$，+∞）；
（2）函数f（x）的图象在y轴上的交点的纵坐标是正数，
则c＞0，b＞0，a＜0，
则函数f（x）的单调递增区间为（-∞，$\frac{1}{3}$]，单调递减区间为[$\frac{1}{3}$，+∞），
此时自变量x的值，距离对称轴x=$\frac{1}{3}$越近，函数值越大；
故f（$\frac{1}{2}$）＞f（0）＞f（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．