Question

13．对于定义在[0，+∞）上的函数f（x），若函数y=f（x）-（ax+b）满足：①在区间[0，+∞）上单调递减；②存在常数p，使其值域为（0，p]，则称函数g（x）=ax+b为f（x）的“渐近函数”
（1）证明：函数g（x）=x+1是函数f（x）=$\frac{{x}^{2}+2x+3}{x+1}$，x∈[0，+∞）的渐近函数，并求此时实数p的值；
（2）若函数f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+1}$，x∈[0，+∞）的渐近函数是g（x）=ax，求实数a的值，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）通过令t（x）=f（x）-g（x），利用“渐近函数”的定义逐条验证即可；
（2）通过记t（x）=f（x）-g（x），结合“渐近函数”的定义可知$\frac{2x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$＜a，问题转化为求当x∈[0，+∞）时q（x）=$\frac{2x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$的最大值问题，进而计算可得结论．

解答 （1）证明：依题意，令t（x）=f（x）-g（x），
则t（x）=$\frac{{x}^{2}+2x+3}{x+1}$-（x+1）=$\frac{2}{x+1}$，
∵t′（x）=-$\frac{2}{（x+1）^{2}}$＜0，
∴t（x）在区间[0，+∞）上单调递减，且$\underset{lim}{x→∞}$t（x）=0，
∴0＜t（x）≤t（0）=2，
于是函数g（x）=x+1是函数f（x）=$\frac{{x}^{2}+2x+3}{x+1}$，x∈[0，+∞）的渐近函数，
此时实数p=2；
（2）解：记t（x）=f（x）-g（x）=$\sqrt{{x}^{2}+1}$-ax，
则t′（x）=$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$-a，
∵函数f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+1}$，x∈[0，+∞）的渐近函数是g（x）=ax，
∴当x∈[0，+∞）时t′（x）＜0，即$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$＜a，
令函数q（x）=$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$，其中x∈[0，+∞），
当x=0时，q（x）=0；
当x≠0时，q（x）=$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$=$\frac{1}{\sqrt{\frac{{x}^{2}+1}{{x}^{2}}}}$=$\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{{x}^{2}}}}$在区间（0，+∞）上单调递增，
且$\underset{lim}{x→∞}$q（x）=1，
∴a≥1．

点评 本题考查新定义函数，涉及导数的计算，函数单调性及极限知识，注意解题方法的积累，属于中档题．