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14、不等式x3-3x2+2-a<0在区间x∈[-1,1]上恒成立,则实数a的取值范围是
(2,+∞)
分析:变形为x3-3x2+2<a在闭区间∈[-1,1]上恒成立,从而转化为三次多项式函数在区间上求最值的问题,可以分两步操作:①求出f(x)=x3-3x2+2的导数,从而得出其单调性;②在单调增区间的右端求出函数的极大值或区间端点的较大函数值,得出所给函数的最大值,实数a要大于这个值.
解答:解:原不等式等价于x3-3x2+2<a区间x∈[-1,1]上恒成立,
设函数f(x)=x3-3x2+2,x∈[-1,1]
求出导数:f/(x)=3x2-6x,由f/(x)=0得x=0或2
可得在区间(-1,0)上f/(x)>0,函数为增函数,
    在区间(0,1)上f/(x)<0,函数为减函数,
因此函数在闭区间[-1,1]上在x=0处取得极大值f(0)=2,并且这个极大值也是最大值
所以实数a>2
故答案为:(2,+∞)
点评:本题利用导数工具研究函数的单调性从而求出函数在区间上的最值,处理不等式恒成立的问题时注意变量分离技巧的应用,简化运算.
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