Question

14、不等式x³-3x²+2-a＜0在区间x∈[-1，1]上恒成立，则实数a的取值范围是

（2，+∞）

．

Answer 1

分析：变形为x³-3x²+2＜a在闭区间∈[-1，1]上恒成立，从而转化为三次多项式函数在区间上求最值的问题，可以分两步操作：①求出f（x）=x³-3x²+2的导数，从而得出其单调性；②在单调增区间的右端求出函数的极大值或区间端点的较大函数值，得出所给函数的最大值，实数a要大于这个值．

解答：解：原不等式等价于x³-3x²+2＜a区间x∈[-1，1]上恒成立，
设函数f（x）=x³-3x²+2，x∈[-1，1]
求出导数：f^/（x）=3x²-6x，由f^/（x）=0得x=0或2
可得在区间（-1，0）上f^/（x）＞0，函数为增函数，
    在区间（0，1）上f^/（x）＜0，函数为减函数，
因此函数在闭区间[-1，1]上在x=0处取得极大值f（0）=2，并且这个极大值也是最大值
所以实数a＞2
故答案为：（2，+∞）

点评：本题利用导数工具研究函数的单调性从而求出函数在区间上的最值，处理不等式恒成立的问题时注意变量分离技巧的应用，简化运算．