Question

已知数列{a_n}中，a₁=-10，且经过点A（a_n，a_n+1），B（2ⁿ，2ⁿ⁺²）两点的直线斜率为2，n∈N^*
（1）求证数列{

an

2n

}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的最小项．

Answer 1

分析：（1）直接利用直线AB的斜率为2把已知条件代入整理即可得a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹，再按定义证明数列{

an

2n

}是等差数列，进而求出数列{a_n}的通项公式；
（2）把数列{a_n}的相邻两项作差，可以求出数列{a_n}的递增递减规律，即可求出数列{a_n}的最小项．

解答：解：（1）直线AB的斜率为

an+1-2n+2

an-2n

=2，化简得a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹.

an+1

2n+1

-

an

2n

=

an+1-2an

2n+1

=

2n+1

2n+1

=1，所以数列{

an

2n

}是以1为公差的等差数列．
其首项为

a1

2

=-5，所以

an

2n

=-5+(n-1)×1=n-6，
数列{a_n}的通项公式a_n=（n-6）2ⁿ．
（2）a_n+1-a_n=（n-5）2ⁿ⁺¹-（n-6）2ⁿ=2ⁿ（n-4），
解不等式2ⁿ（n-4）＞0得n＞4；解不等式2ⁿ（n-4）＜0得n＜4；
解方程2ⁿ（n-4）=0，解得n=4．
综上所述：
n＞4时，a_n+1＞a_n；
n＜4时，a_n+1＜a_n；
n=4时，a_n+1=a_n．
所以a₁＜a₂＜a₃＜a₄=a₅＞a₆＞a₇＞最小项为a₄和a₅，且a₄=a₅=-32．

点评：本题主要考查数列递推关系式的应用以及用定义来证明一个数列为等差数列，是对基础知识的综合考查，属于中档题．