Question

（本小题满分14分）已知双曲线的左、右顶点分别为，点，是双曲线上不同的两个动点.
（1）求直线与交点的轨迹E的方程
（2若过点的两条直线和与轨迹E都只有一个交点，且，求的值.

Answer 1

，

解法一：
联立①②解得交点坐标为，  ③
则.
而点在双曲线上，.
将③代入上式，整理得所求轨迹E的方程为[    .

因为点P，Q是双曲线上的不同两点，所以它们与点均不重合，故点均不在轨迹E上.
过点（0,1）及的直线的方程为.解方程组得.所以直线与双曲线只有唯一交点.
故轨迹E不经过点（0,1）.同理轨迹E也不经过点（0,-1）.
综上分析，轨迹E的方程为.
（2）设过点的直线为，联立得
.
令，
解得.
由于，则.
过点分别引直线通过轴上的点，且使，因此,由，此时，
的方程分别为，
它们与轨迹分别仅有一个交点
所以符合条件的的值为