Question

16．已知函数f（x）定义域为R，则下列命题：
①若y=f（x）为偶函数，则y=f（x+2）的图象关于y轴对称．
②若y=f（x+2）为偶函数，则y=f（x）关于直线x=2对称．
③若函数y=f（2x+1）是偶函数，则y=f（2x）的图象关于直线$x=\frac{1}{2}$对称．
④若f（x-2）=f（2-x），则则y=f（x）关于直线x=2对称．
⑤函数y=f（x-2）和y=f（2-x）的图象关于x=2对称．
其中正确的命题序号是（　　）

• A． ①②④
• B． ①③④
• C． ②③⑤
• D． ②③④

Answer 1

分析 由函数的图象关于y轴对称结合函数的图象平移判断①②③；
令t=x-2换元，然后利用偶函数的性质判断④；
设f（m）=n，可得函数y=f（x-2）的图象经过点A（m+2，n），求出A关于x=2的对称点B（-m+2，n），由B在y=f（2-x）上说明⑤正确．

解答 解：①若y=f（x）为偶函数，则其图象关于y轴对称，∴y=f（x+2）的图象关于直线x=-2对称，①错误；
②若y=f（x+2）为偶函数，则其图象关于y轴对称，∴y=f（x）关于直线x=2对称，②正确；
③若函数y=f（2x+1）=f[2（x+$\frac{1}{2}$）]是偶函数，则其图象关于y轴对称，
∴y=f（2x）的图象关于直线$x=\frac{1}{2}$对称，③正确；
④令t=x-2，则2-x=-t，
由于f（x-2）=f（2-x），得f（t）=f（-t），∴函数f（x）是偶函数，
得f（x）的图象自身关于直线y轴对称，④错误；
⑤设f（m）=n，则函数y=f（x-2）的图象经过点A（m+2，n）
而y=f（2-x）的图象经过点B（-m+2，n），由于点A与点B是关于x=2对称的点，
∴y=f（x-2）与y=f（2-x）的图象关于直线x=2对称，⑤正确．
∴正确命题的序号是②③⑤．
故答案为：②③⑤．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了函数的性质，考查了函数图象的平移与对称性问题，是中档题．